[論文レビュー] Edge-partitioning a graph into paths: beyond the Bar\'at-Thomassen conjecture

Julien Bensmail, Ararat Harutyunyan+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2015

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 6被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、Barát-Thomassen予想のパスの場合に対する新しい証明を提示する。24-辺連結で、十分に高い最小次数かつ辺数がℓで割り切れる任意のグラフは、長さℓのパスに分解可能であることを示す。この手法では、辺連結性、スパースな木分解、およびオイラー閉路の構成を用いてパス分解を保証する。特に、オイラー型のグラフに対しては4-辺連結性と高い最小次数のみで十分であるというより強い結果を得る。

ABSTRACT

The Bar\'at-Thomassen conjecture asserts that there is a function $f$ such that for every fixed tree $T$ with $t$ edges, every graph which is $f(t)$-edge-connected with its number of edges divisible by $t$ has a partition of its edges into copies of $T$. This has been proved in the case of paths of length $2^k$ by Thomassen, and recently shown to be true for all paths by Botler, Mota, Oshiro and Wakabayashi. Our goal in this paper is to propose an alternative proof of the path case with a weaker hypothesis: Namely, we prove that there is a function $f$ such that every $24$-edge-connected graph with minimum degree $f(t)$ has an edge-partition into paths of length $t$ whenever $t$ divides the number of edges. We also show that $24$ can be dropped to $4$ when the graph is eulerian.

研究の動機と目的

• 従来の証明よりも弱い辺連結性の仮定のもとで、Barát-Thomassen予想のパスの場合を扱う。
• 従来の研究で用いられた確率的技法への依存を減らす代替証明戦略を提供する。
• パス分解を可能にするために、辺連結性と最小次数の間のトレードオフを調査する。
• 最小次数を高めることで、辺連結性の閾値を低下させられる状況を洗い出す。
• 4-辺連結なオイラー型グラフが、十分に高い最小次数を備える場合、長さℓのパスへの分解を許容することを証明する。

提案手法

• 証明は24-辺連結なグラフGを構成し、最大カットを適用して、高次の最小次数を備えた12-辺連結部分グラフG′を分離する。
• G′に6-弧強度の向き付けを適用し、共通の頂点を根とする6本の弧に素な出木を抽出可能にする。
• カットの両側に、残りの辺の一部を用いて2つの1/2スパースな(ℓ, 2ℓ)-パス木T′とT′′を構築する。
• T′およびT′′から特定のパスを削除することで、各側の頂点の次数の偶奇を調整し、各側に高々1つの奇数次数頂点が残るようにする。
• 残りの辺から、連結な[ℓ, ℓ+3]-パスグラフHを構成し、衝突度conf(H) < 1/(2(ℓ + 10))とする。
• 定理3.2によりHにオイラー閉路を構成し、衝突するサイクルが生じないことを保証し、目的のパス分解を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パス長ℓに依存しない定数の辺連結性の上限を用いて、Barát-Thomassen予想のパスの場合を証明できるか？
• RQ2 最小次数を高めることで、パス分解に必要な辺連結性はどのように変化するか？
• RQ3 低辺連結性のオイラー型グラフに対しても、構造的な方法でパス分解を保証できるか？
• RQ4 パスグラフにおける衝突度conf(H)をどのように制御すれば、非衝突的オイラー閉路を保証できるか？
• RQ5 高最小次数の条件が、パス分解に必要な辺連結性の要件を低下させることを可能にするか？

主な発見

• 最小次数がdℓ以上で、辺数がℓで割り切れる任意の24-辺連結グラフは、長さℓのパスに分解可能である。
• 分解に追加で長さℓ以下のパスが1つ必要になる場合があるが、そのようなパスは高々1つである。
• オイラー型グラフでは、十分に高い最小次数dℓと組み合わせて4-辺連結性が十分である。
• 構築されたパスグラフHの衝突度conf(H)は1/(2(ℓ + 10))未満に抑えられ、非衝突的オイラー閉路を保証する。
• 従来の証明とは異なる手法により、Barát-Thomassen予想のパスの場合に対する代替証明が確立された。
• 証明により、辺連結性がパス長ℓから独立しており、普遍的な上限24が得られた。