[論文レビュー] Effective Chabauty for symmetric powers of curves

Jennifer Mun Young Park|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、コールマンの有効なチャバウティ・メソッドを曲線の対称べきへ拡張し、ジャコビアンのモーデル・ヴェイユランクが $ g-d $ 以下であるとき、$ \operatorname{Sym}^dX $ の特別集合の外にある有理点の数に対する有効な上界を与える。$ p $-進積分と剛体的解析幾何を用いて、有理点を含む解を持つ、剰余ディスク上のべき級数を構成し、計算可能な上界 $ N(p,d,g) $ を得る。具体的な例として、ランク $ \leq 1 $ の3次の超楕円曲線に対して $ N(2,3,3) = 1539 $ が得られる。この方法は、チャバウティの局所的構造に関する技術的仮定を満たすが、ランクが1以下である場合には自動的に成立する。

ABSTRACT

Faltings' theorem states that curves of genus $g \geq 2$ have finitely many rational points. Using the ideas of Faltings, Mumford, Parshin and Raynaud, one obtains an upper bound on the number of rational points, but this bound is too large to be used in any reasonable sense. In 1985, Coleman showed that Chabauty's method, which works when the Mordell-Weil rank of the Jacobian of the curve is smaller than $g$, can be used to give a good effective bound on the number of rational points of curves of genus $g > 1$. We draw ideas from nonarchimedean geometry to show that we can also give an effective bound on the number of rational points outside of the special set of $d$-th symmetric power of $X$, where $X$ is a curve of genus $g > d$, when the Mordell-Weil rank of the Jacobian of the curve is at most $g-d$ and the curve further satisfies certain rigid analytic conditions.

研究の動機と目的

• 曲線から対称べき $ \operatorname{Sym}^dX $（$ d \geq 1 $）へのコールマンの有効なチャバウティ法の一般化を図ること。
• ジャコビアンのモーデル・ヴェイユランクが $ \operatorname{Rank}(J) \leq g - d $ を満たすとき、$ \operatorname{Sym}^dX $ の特別集合の外にある有理点の数に対する有効な上界を提供すること。
• 解析的台 $ (\operatorname{Sym}^dX)^{\text{an}} $ のチャバウティ型局所的構造が特別集合の外で有限個の有理点しか持たない条件を確立すること。
• 具体的な例として、$ p=2 $、$ d=3 $、$ g=3 $ の場合に、特別集合の外にある有理点の数に対する明示的な上界 $ N(p,d,g) $ を計算すること。

提案手法

• $ p $-進積分を用いて、剛体的解析的空間 $ (\operatorname{Sym}^dX)^{\text{an}} $ の剰余ディスク上に局所的解析的関数（べき級数）を定義し、その零点が $ \operatorname{Sym}^dX $ の有理点を含むようにする。
• これらの $ p $-進積分の零点として、剛体的解析的部分多様体 $ (\operatorname{Sym}^dX)^{\eta=0} $ を定義し、仮定1.3のもとで、特別集合の外の有理点を捉える。
• ニュートン多角形法を用いて、各剰余ディスクにおけるべき級数方程式の解の数を推定し、1つのディスクあたりの有理点数の上限を求める。
• 行列に基づく周囲長計算 $ \operatorname{Per}(A)^\prime $ を導入し、すべての剰余ディスクにわたる解の総数の上限を求める。
• $ X(\mathbb{F}_p) $ におけるハッセ＝ヴェイルの上限を用いて、$ \#(\operatorname{Sym}^dX)(\mathbb{F}_p) $ を抑え、これにより剰余ディスクの数の上限を得る。
• 定理5.17を適用し、剰余ディスクの数と1ディスクあたりの最大解数を組み合わせることで、最終的な上界 $ N(p,d,g) $ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジャコビアンのモーデル・ヴェイユランクが $ g - d $ 以下であるとき、チャバウティ法を対称べき $ \operatorname{Sym}^dX $ に有効に一般化できるか。
• RQ2 特別集合の外にある $ \operatorname{Sym}^dX $ の有理点の数に対する有効な上界を得るための条件は何か。
• RQ3 $ p $-進積分と剛体的解析幾何を用いて、有理点を含む解を持つ剰余ディスク上のべき級数をどのように定義できるか。
• RQ4 $ \operatorname{Sym}^dX(\mathbb{Q}_p) $ の1つの剰余ディスクに存在できる有理点の最大数は何か。また、すべてのディスクに一様にその上限をどのように得られるか。
• RQ5 特定の $ p $、$ d $、$ g $ に対して明示的な上界 $ N(p,d,g) $ を計算できるか。また、具体的な状況でのその値は何か。

主な発見

• 論文は、$ \operatorname{Rank}(J) \leq g - d $ かつ仮定1.3が成り立つ限り、特別集合の外にある $ \operatorname{Sym}^dX $ の有理点の数に対する有効な上界 $ N(p,d,g) $ を確立した。
• $ p=2 $、$ d=3 $、$ g=3 $ の場合、上界は明示的に $ N(2,3,3) = 1539 $ として計算され、ランク $ \leq 1 $ で2進数体で良い還元を持つ任意の奇数の3次超楕円曲線に対して成り立つ。
• 1つの剰余ディスクあたりの有理点の最大数は、$ \delta_\varepsilon(k,v,\ell) $ の値を含む行列の周囲長計算から得られる $ \operatorname{Per}(A)^\prime \leq 81 $ によって抑えられている。
• 3次奇数の超楕円曲線に対して、$ \operatorname{Sym}^2X(\mathbb{F}_2) $ には最大19個の剰余ディスクがある。これは $ \#(\operatorname{Sym}^2X)(\mathbb{F}_2) \leq 19 $ を示すことによって得られる。
• $ N(2,3,3) = 1539 $ は、1ディスクあたりの最大解数（81）とディスク数（19）を掛け合わせることで得られ、$ 81 \times 19 = 1539 $ となる。
• すべての正次元成分が $ (\operatorname{Sym}^dX)^{\eta=0} $ の特別集合内にあるという仮定は、$ \operatorname{Rank}(J) \leq 1 $ のとき自動的に満たされるため、この方法の適用が容易になる。