[論文レビュー] Effective light cone and digital quantum simulation of interacting bosons

Tomotaka Kuwahara, Tan Van Vu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2022

Quantum many-body systems参考文献 60被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、無限大の局所的エネルギーを持つにもかかわらず、相互作用するボソン系に対して最適な有効光円錐を確立し、有限の情報伝播速度を証明するとともに、ボソン数の切断とHaah-Hastings-Kohtari-Low分解を用いて誤差保証付きの確実に効率的なデジタル量子シミュレーションアルゴリズムを開発した。この手法により、ゲート複雑度が $\tilde{\mathcal{O}}(|\Lambda|t\bar{q} \cdot \text{polylog}(|\Lambda|t\bar{q}/\epsilon))$ にスケーリングすることが保証され、量子多体系のダイナミクスにおける長年の課題が解決された。

ABSTRACT

The speed limit of information propagation is one of the most fundamental features in non-equilibrium physics. The region of information propagation by finite-time dynamics is approximately restricted inside the effective light cone that is formulated by the Lieb-Robinson bound. To date, extensive studies have been conducted to identify the shape of effective light cones in most experimentally relevant many-body systems. However, the Lieb-Robinson bound in the interacting boson systems, one of the most ubiquitous quantum systems in nature, has remained a critical open problem for a long time. This study reveals a tight effective light cone to limit the information propagation in interacting bosons, where the shape of the effective light cone depends on the spatial dimension. To achieve it, we prove that the speed for bosons to clump together is finite, which in turn leads to the error guarantee of the boson number truncation at each site. Furthermore, we applied the method to provide a provably efficient algorithm for simulating the interacting boson systems. The results of this study settle the notoriously challenging problem and provide the foundation for elucidating the complexity of many-body boson systems.

研究の動機と目的

• 局所的エネルギーが発散するためLieb-Robinson速度が通常無限大となる相互作用ボソン系に対して、有限で最適な光円錐を確立するという長年の未解決問題を解決すること。
• 各サイトにおけるボソン数の切断に対して、厳密な誤差保証を提供することにより、無限大の局所ヒルベルト空間にもかかわらず制御可能なシミュレーションを可能にすること。
• 明示的なゲート複雑度の上限を伴う、相互作用ボソン系の確実に効率的なデジタル量子シミュレーションアルゴリズムを開発すること。
• 有限の切断と有限の伝播速度を考慮することで、Lieb-Robinson束縛を強く相関するボソン系、特にBose-Hubbardモデルにまで拡張すること。

提案手法

• ボソンのクラスタリング速度が有限であることを証明し、これによりLieb-Robinson速度が有限であることが示され、ボソン数の切断における誤差制御が可能になること。
• 時間発展演算子を $\Delta t = \mathcal{O}(1/\bar{q})$ の時間間隔に分割するHHKL（Haah-Hastings-Kohtari-Low）アルゴリズムを用い、近似誤差が指数的に減少することを保証すること。
• 格子の部分集合 $L$ 上で定義されるブロックハミルトニアン $H_L(t)$ を導入し、$H_L(t)$ が $\mathcal{O}(d_L)$-スパースであるとし、$d_L = \mathcal{O}(|L|)$ であることから、局所的ダイナミクスの効率的シミュレーションが可能になること。
• 参考文献[51]の定理2.1を適用して、局所的時間発展演算子 $U_L(0\to\tau)$ のシミュレーションにおけるゲート複雑度を束縛し、$\mathcal{O}(\tau\bar{q}|L|^4 \log^2(\tau\bar{q}|L|/\epsilon)\log\bar{q})$ のスケーリングを得ること。
• 空間的ブロック $B_s$ における順序付きユニタリ発展演算子の積として、グローバルな時間発展演算子 $U_\Lambda(0\to t)$ を構築し、誤差が $\mathcal{O}(|\Lambda|t/\Delta t \cdot e^{-\mu\ell + vg\Delta t})$ で抑えられることを示す。ここで $\ell = \log(|\Lambda|t\bar{q}/\epsilon)$ とすることで $\epsilon$-精度が保証されること。
• ブロックシミュレーションコストとブロック数および時間ステップ数を組み合わせることで、総ゲート複雑度を導出し、$\tilde{\mathcal{O}}(|\Lambda|t\bar{q} \cdot \text{polylog}(|\Lambda|t\bar{q}/\epsilon))$ が得られること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限大の局所的エネルギーと発散するLieb-Robinson速度を持つにもかかわらず、相互作用ボソン系に対して有限で最適な光円錐を確立できるか？
• RQ2 相互作用ボソン系における情報伝播の最大速度は何か？ また、ボソン数の切断下でもその速度は有限に保たれるか？
• RQ3 誤差保証と有限なゲート複雑度を伴う、相互作用ボソン系の確実に効率的なデジタル量子シミュレーションアルゴリズムを構築できるか？
• RQ4 ボソン数の切断 $\bar{q}$ の選択が、相互作用ボソン系における量子シミュレーションの精度と複雑度にどのように影響するか？

主な発見

• 本稿は、空間次元に依存する形状を持つ、相互作用ボソン系に対する最適な有効光円錐を確立し、量子多体物理学における長年の未解決問題を解決した。
• ボソンのクラスタリング速度が有限であることを証明した。これにより情報伝播が有界であり、ボソン数の切断における厳密な誤差制御が可能になった。
• 相互作用ボソン系の時間発展演算子のシミュレーションにおけるゲート複雑度は、$\tilde{\mathcal{O}}(|\Lambda|t\bar{q} \cdot \text{polylog}(|\Lambda|t\bar{q}/\epsilon))$ にスケーリングされ、確実に効率的なシミュレーションアルゴリズムが得られた。
• HHKL分解における近似誤差は $\mathcal{O}(|\Lambda|t/\Delta t \cdot e^{-\mu\ell + vg\Delta t})$ で束縛され、$\ell = \log(|\Lambda|t\bar{q}/\epsilon)$ とすることで、誤差が $\epsilon$ 未満であることが保証された。
• 切断下でも局所的エネルギー $g = \mathcal{O}(\bar{q})$ が有限に保たれ、$\Delta t = \mathcal{O}(1/\bar{q})$ により $g\Delta t = \mathcal{O}(1)$ が維持されることで、安定性と精度が保たれた。
• 導出されたゲート複雑度は、多項式対数因子を除いて理論的下界と一致しており、時間、系のサイズ、切断レベルの観点からアルゴリズムの最適性が確認された。