[論文レビュー] Effective Polynomial Ballisticity Condition for Random Walk in Random Environment

Noam Berger, Alexander Drewitz+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 16被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、高次元（$d \geq 2$）におけるSznitmanの伸びた指数条件$(T)_\gamma$に関連する球面的挙動および不変性原理を示すために、多項式減衰条件—特に条件$(/mathcal{P})$—が十分であることを確立している。主な貢献は、有限のボックス上で評価可能で有効な条件$(\mathcal{P})$が、すべての$\gamma \in (0,1)$に対して$(T)_\gamma$を示すことを証明したことである。これにより、これらの条件の予想される同値性が、すべての関連する次元にまで拡張された。

ABSTRACT

The conditions $(T)_γ,$ $γ\in (0,1),$ which have been introduced by Sznitman in 2002, have had a significant impact on research in random walk in random environment. Among others, these conditions entail a ballistic behaviour as well as an invariance principle. They require the stretched exponential decay of certain slab exit probabilities for the random walk under the averaged measure and are asymptotic in nature. The main goal of this paper is to show that in all relevant dimensions (i.e., $d \ge 2$), in order to establish the conditions $(T)_γ$, it is actually enough to check a corresponding condition $(\mathcal{P})$ of polynomial type. In addition to only requiring an a priori weaker decay of the corresponding slab exit probabilities than $(T)_γ,$ another advantage of the condition $(\mathcal{P})$ is that it is effective in the sense that it can be checked on finite boxes. In particular, this extends the conjectured equivalence of the conditions $(T)_γ,$ $γ\in (0,1),$ to all relevant dimensions.

研究の動機と目的

• 有限のボックス上で効果的かつ検証可能な球面的挙動の十分条件を確立すること。
• 多項式型の減衰条件$(\mathcal{P})$が、次元$d \geq 2$においてすべての$\gamma \in (0,1)$に対して、伸びた指数減衰条件$(T)_\gamma$を示すこと。
• $(T)_\gamma$と多項式型条件の間の予想される同値性を、すべての関連する次元にまで拡張し、RWRE理論における重要な未解決問題を解決すること。
• 漸近的で検証が難しい伸びた指数条件の代わりに、より弱く効果的な多項式条件に置き換えることで、RWREにおける球面的挙動の検証に実用的な基準を提供すること。
• 漸近的仮定を有限ボックスで検証可能な条件に置き換えることで、高次元RWREにおける不変性原理および球面的挙動の理論的基盤を強化すること。

提案手法

• 平均測度下でのスラブ出口確率に対する多項式減衰条件$(\mathcal{P})$を導入し、球面的挙動を示す候補条件とする。
• 空間を二進分解によるボックス$\mathcal{R}_n(x)$に分割し、$D^n_j$による停止時刻の構成を用いて、ランダムウォークがこれらのボックスを通過する様子を追跡するリノルミゼーションスキームを用いる。
• 強マルコフ性と一様正則性を用いて、ボックスの正の側からの出口確率を評価し、$G_{\beta,L}$の事象を用いて「悪い」ボックスの数を制御する。
• 格子を$5^d$個の互いに素な族$\mathbb{L}_n^j$に分割し、確率的支配を用いて「悪い」平行四辺形の数が多すぎる確率を評価する。
• 出口確率の指数的評価と二項分布の尾確率の階乗減衰推定を組み合わせ、まれな事象（例：「悪い」ボックスが多すぎる）の確率を制御する。
• 不等式$\mathbb{P}(N_L \geq L^{\beta(L)}) \leq 5^d \frac{e}{\lceil L^{\beta(L)}/5^d \rceil!}$を用いて、「悪い」ボックスが多数ある事象の確率が無視できるほど小さいことを示し、これにより出口確率の主要な下界が導出可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元$d \geq 2$におけるRWREの球面的挙動を確立する際、漸近的でない伸びた指数条件$(T)_\gamma$の代わりに、スラブ出口確率に対する多項式減衰条件を用いることは可能か？
• RQ2 有限ボックス上で評価可能で有効な条件$(\mathcal{P})$が、すべての$\gamma \in (0,1)$に対して、$(T)_\gamma$条件を満たすのに十分か？
• RQ3 $(T)_\gamma$と多項式型条件の間の予想される同値性は、すべての次元$d \geq 2$にまで拡張可能か？
• RQ4 $(T)_\gamma$の漸近的性質を、球面的挙動および不変性原理の帰結を失わず、有限ボックスで検証可能な条件に置き換えることは可能か？
• RQ5 $(\mathcal{P})$における減衰率と、得られる$(T)_\gamma$の指数$\gamma$との間の定量的関係は何か？

主な発見

• 条件$(\mathcal{P})$、つまりスラブ出口確率に対する多項式減衰条件は、次元$d \geq 2$においてすべての$\gamma \in (0,1)$に対して、伸びた指数減衰条件$(T)_\gamma$を示すのに十分である。
• 条件$(\mathcal{P})$は、$(T)_\gamma$の漸近的性質とは異なり、有限ボックス上で評価可能であるという意味で有効である。
• 事象$G_{\beta(L),L}$の下で、$L$が十分に大きいとき、$P_{0,\omega}(H_{\partial B} = H_{\partial_+ B}) > \frac{1}{2} \exp\{ -c_1 L^{\epsilon(L) + \beta(L)} \}$が成り立つことが証明された。この事象$G_{\beta(L),L}$は高確率で成立する。
• 「悪い」平行四辺形が多すぎる確率は、$\mathbb{P}(G_{\beta(L),L}^c) \leq 5^d \frac{e}{\lceil L^{\beta(L)}/5^d \rceil!}$で抑えられ、これは任意の多項式より速く減少する。
• 著者らは、多項式減衰条件$(\mathcal{P})$が不変性原理および球面的挙動を示すことを証明し、かつ$(T)_\gamma$の下でしか得られていなかった結果を拡張した。
• 本結果により、$d \geq 2$のすべての次元において、$(T)_\gamma$と多項式型条件の間の予想される同値性が確認され、RWRE理論における長年の未解決問題が解決された。