[論文レビュー] On the annealed large deviation rate function for a multi-dimensional random walk in random environment

Jonathon Peterson, Ofer Zeitouni|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2008

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 14被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、再生時刻とi.i.d. 構造を用いてレート関数と再生増分を結びつけることにより、原点付近における多次元の確率的環境におけるランダムウォークのアンネールド大偏差レート関数の解析的性質および1-斉次性を確立する。主な結果は、ネスティングの場合に、レート関数が原点を境界に持つ開集合上で解析的かつ1-斉次であることである。

ABSTRACT

We derive properties of the rate function in Varadhan's (annealed) large deviation principle for multidimensional, ballistic random walk in random environment, in a certain neighborhood of the zero set of the rate function. Our approach relates the LDP to that of regeneration times and distances. The analysis of the latter is possible due to the i.i.d. structure of regenerations.

研究の動機と目的

• 多次元の確率的環境におけるランダムウォークのアンネールド大偏差レート関数の定性的な挙動を、凸性やゼロ集合の構造を超えて理解すること。
• 特に、ゼロ集合が線分であるネスティングの場合に、ゼロ集合の近傍におけるレート関数を分析すること。
• 環境がネスティングの場合に、原点の近傍における領域でレート関数の解析的性質および1-斉次性を確立すること。
• 再生時刻と再生距離を用いて、アンネールドLDPと再生構造を関連づけ、再生増分のi.i.d. 構造を活用すること。
• 従来の厳密な凸性および解析的性質に関する結果の新たな証明を提供し、ネスティング領域へと拡張すること。

提案手法

• 固定された方向ℓにおける再生時刻を用いて、ランダムウォークの経路をi.i.d. な遷移に分解し、再生増分のi.i.d. 構造を活用する。
• 再生時刻および変位のモーメント母関数のLegendre変換により、アンネールドレート関数H(v)を定義する。
• 逆関数定理およびモーメント母関数の解析的性質を用いて、Legendre変換（すなわち、レート関数）がゼロ集合の近傍で解析的であることを証明する。
• その領域でレート関数が線形にスケーリングすることを示すことにより、原点の境界を含む開集合上でH(v)の1-斉次性を確立する。
• VaradhanのアンネールドLDPおよびアンネールドレート関数と再生増分の quenched レート関数との関係を用いて、主要な結果を導出する。
• Sznitmanの条件Tの下で再生時刻の存在および方向ℓにおけるウォークの弾道的挙動に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 環境がネスティングの場合に、アンネールド大偏差レート関数H(v)は原点の近傍で解析的か？
• RQ2 ネスティング環境において、原点の近傍の領域でアンネールドレート関数は1-斉次性を示すか？
• RQ3 アンネールドLDPは再生構造を介して特徴付けられ、これにより解析的性質および斉次性の新たな証明が得られるか？
• RQ4 レート関数は、再生時刻を定義する際に用いる方向ℓの選択に依存しない（少なくともゼロ集合の近傍では）か？
• RQ5 再生に基づくレート関数の大偏差上界は、グローバルに成り立つか、それともゼロ集合の近傍でのみ成り立つか？

主な発見

• 環境がネスティングの場合、アンネールド大偏差レート関数H(v)は、原点を境界に持つ開集合上で解析的である。
• この開集合上でレート関数H(v)は1-斉次であり、任意のc > 0および集合内のvについてH(cv) = cH(v)を満たす。
• ネスティングでない環境では、レート関数H(v)は原点の近傍で解析的かつ厳密に凸である。
• ネスティングおよびネスティングでない両ケースにおいて、レート関数H(v)はゼロ集合の近傍で再生に基づくレート関数J̄(v)と一致する。
• 再生時刻を用いた証明技法により、アンネールドレート関数の解析的構造を理解する新たな道筋が得られる。
• これらの結果は、ネスティングの場合にレート関数が原点の近くで滑らかでかつ線形スケーリング的であることを示しており、1次元設定でしばしば観察される区分的線形挙動とは対照的である。