[論文レビュー] Efficiency Lower Bounds for Distribution-Free Hotelling-Type Two-Sample Tests Based on Optimal Transport

Nabarun Deb, Bhaswar B. Bhattacharya+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2021

Statistical Methods and Inference参考文献 117被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、最適輸送に基づく多変量で非パラメトリックかつ正確に分布自由な検定を提案し、Konijnの代替仮説の下でホットェリングの $T^2$ とウィルクスの尤度比検定と同等の漸近的効率の下限に達する。この手法は、パラメトリックモデルや母集団分布の知識を仮定せずに、 Hodges-Lehmann および Chernoff-Savage の効率結果を多変量設定に拡張する。

ABSTRACT

The Wilcoxon rank-sum test is one of the most popular distribution-free procedures for testing the equality of two univariate probability distributions. One of the main reasons for its popularity can be attributed to the remarkable result of Hodges and Lehmann (1956), which shows that the asymptotic relative efficiency of Wilcoxon's test with respect to Student's $t$-test, under location alternatives, never falls below 0.864, despite the former being exactly distribution-free for all sample sizes. Even more striking is the result of Chernoff and Savage (1958), which shows that the efficiency of a Gaussian score transformed Wilcoxon's test, against the $t$-test, is lower bounded by 1. In this paper we study the two-sample problem in the multivariate setting and propose distribution-free analogues of the Hotelling $T^2$ test (the natural multidimensional counterpart of Student's $t$-test) based on optimal transport and obtain extensions of the above celebrated results over various natural families of multivariate distributions. Our proposed tests are consistent against a general class of alternatives and satisfy Hodges-Lehmann and Chernoff-Savage-type efficiency lower bounds, despite being entirely agnostic to the underlying data generating mechanism. In particular, a collection of our proposed tests suffer from no loss in asymptotic efficiency, when compared to Hotelling $T^2$. To the best of our knowledge, these are the first collection of multivariate, nonparametric, exactly distribution-free tests that provably achieve such attractive efficiency lower bounds. We also demonstrate the broader scope of our methods in optimal transport based nonparametric inference by constructing exactly distribution-free multivariate tests for mutual independence, which suffer from no loss in asymptotic efficiency against the classical Wilks' likelihood ratio test, under Konijn alternatives.

研究の動機と目的

• パラメトリックモデルを仮定せずに、多変量で非パラメトリックかつ正確に分布自由な二標本位置問題の検定を構築し、高い漸近的効率を維持すること。
• 従来は単変量設定でのみ知られていた Hodges-Lehmann および Chernoff-Savage の効率の下限を、最適輸送を用いて多変量設定に拡張すること。
• 一般の代替仮説に対して一貫性を示しながら、母集団のデータ生成メカニズムに依存しない検定を構築すること。
• 古典的なパラメトリック検定（ホットェリングの $T^2$ やウィルクスの尤度比検定）と比較して、漸近的効率に損失がないことを示すこと。
• 最適輸送の非パラメトリック推論への応用範囲を広げ、相互独立性の分布自由な検定を可能にすること。

提案手法

• 最適輸送マップを用いて、分布自由変換に対して不変である多変量ランクに基づく検定統計量を定義する。
• 経験測度間のワッサーシュタイン距離に基づく検定統計量を構築し、帰無仮説の下で正確な分布自由性を保証する。
• ワルシャワスキー距離に基づくランクにガウススコア変換を適用し、単変量設定におけるウィルコクソン検定と類似した効率の向上を達成する。
• 帰無仮説および局所的代替仮説の下での漸近的分布を導出し、一貫性および効率の下限を確立する。
• 多変量独立性検定フレームワークにおいて、漸近的相対効率を評価するために Konijn の代替仮説の概念を用いる。
• 経験過程理論および最適輸送の道具を用いて、有限標本および漸近的分布自由性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホットェリングの $T^2$ と同等の漸近的効率を達成する多変量で非パラメトリックかつ正確に分布自由な二標本検定を構築できるか？
• RQ2 最適輸送に基づくランク統計量は、多変量設定においても Hodges-Lehmann および Chernoff-Savage の効率の下限を保持するか？
• RQ3 このような検定は、効率の損失なしに多変量データの相互独立性を検査するために拡張可能か？
• RQ4 局所的代替仮説の下で、輸送に基づく検定の漸近的相対効率は、古典的なパラメトリック検定と比較してどの程度か？
• RQ5 提案された枠組みは、正確な分布自由推論を達成しながら、一般の多変量分布族に対して高いパワーを維持できるか？

主な発見

• 提案された最適輸送に基づく二標本検定は、正確に分布自由であり、位置シフトの下でホットェリングの $T^2$ と比較して漸近的相対効率が1以上に達する。
• 多変量分布のクラスに対して、これらの検定はチェルノフ＝サバイスの効率の下限1を維持し、単変量設定におけるガウススコア変換を施したウィルコクソン検定の効率と一致する。
• これらの検定は、複雑な依存構造を有する代替仮説に対しても一貫性を示す。
• この手法の変種は、Konijn の代替仮説の下でウィルクスの尤度比検定の漸近的効率に損失がない。
• これらは、このような強い効率の下限を証明的に達成する最初の多変量で非パラメトリックかつ分布自由な検定である。
• この枠組みは、パラメトリック仮定なしに、有限標本の正確性および非パラメトリック多変量推論における高い効率を最適輸送が実現可能であることを示している。