[論文レビュー] Multivariate Brenier cumulative distribution functions and their application to non-parametric testing

Melf Boeckel, Vladimir Spokoiny+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2018

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ひとこと要約

本稿では、循環的単調な最適輸送写像を用いて多次元Brenier累積分布関数（ν-BDF）を導入し、1次元のCDFを高次元に一般化する。測度μをコンパクトな凸集合N上の標的測度νへと押し出すことで、2- Wasserstein距離に基づく非パラメトリックな2標本検定が可能となり、一様収束性が保証され、有限標本の誤差バウンドも得られる。

ABSTRACT

In this work we introduce a novel approach of construction of multivariate cumulative distribution functions, based on cyclical-monotone mapping of an original measure $μ\in \mathcal{P}^{ac}_2(\mathbb{R}^d)$ to some target measure $ν\in \mathcal{P}^{ac}_2(\mathbb{R}^d)$ , supported on a convex compact subset of $\mathbb{R}^d$. This map is referred to as $ν$-Brenier distribution function ($ν$-BDF), whose counterpart under the one-dimensional setting $d = 1$ is an ordinary CDF, with $ν$ selected as $\mathcal{U}[0, 1]$, a uniform distribution on $[0, 1]$. Following one-dimensional frame-work, a multivariate analogue of Glivenko-Cantelli theorem is provided. A practical applicability of the theory is then illustrated by the development of a non-parametric pivotal two-sample test, that is rested on $2$-Wasserstein distance.

研究の動機と目的

• 一様収束性といった重要な性質を保つ自然な多次元一般化された累積分布関数（CDF）の欠如に対処する。
• 母集団分布に制限的な仮定を必要としない多次元データ向けの非パラメトリック2標本検定を開発する。
• 循環的単調性と最適輸送を用いた理論的基盤を整備し、多次元分布関数を確立する。
• 最小限の分布仮定のもとで、非パラメトリック検定における第一種および第二種の誤差の有限標本誤差バウンドを提供する。

提案手法

• ν-Brenier分布関数（ν-BDF）を、supp(μ) → N における循環的単調写像 F として定義する。ここで N は ℝᵈ 内のコンパクトな凸集合であり、ν は N 上の連続な標的測度である。
• Brenierの極分解定理を用いて、測度を保存する循環的単調写像 T を構築し、μ を ν へと押し出すことで幾何的忠実性を確保する。
• 経験的ν-BDFに対する多次元Glivenko–Cantelli定理を確立し、経験プロセスが真の分布関数に一様収束することを証明する。
• 2-Wasserstein距離に基づく経験的ν-BDF間の2標本検定を構築し、事前にモンテカルロシミュレーションで得た臨界値 zₙₘ(α) を用いる。
• アルゴリズム2を用いて臨界値 zₙₘ(α) を計算し、単位球上の一様グリッドのi.i.d.置換を生成することで、H₀下の帰無分布をシミュレートする。
• 固定された一様グリッドからの分位点生成により第一種誤差を制御し、検定がパラメトリックでなく、標本分布に依存しないことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様収束性といった重要な統計的性質を保ちながら、1次元CDFを高次元に一般化した累積分布関数をどのように構築できるか？
• RQ2 循環的単調写像による最適輸送は、幾何的に意味のあるかつ統計的に妥当な多次元CDFフレームワークを提供できるか？
• RQ3 2-Wasserstein距離に基づく非パラメトリック2標本検定の有限標本挙動は、多次元設定においてどのように振る舞うか？
• RQ4 母集団分布の知識がなくても、第一種誤差を制御できるパラメトリックな検定を構築できるか？

主な発見

• 提案されたν-Brenier分布関数は、有効な多次元CDFの一般化を提供し、経験的プロセスの一様収束性を保証する多次元Glivenko–Cantelli定理が成り立つ。
• 経験的ν-BDF間の2-Wasserstein距離に基づく2標本検定は、パラメトリックであり、臨界値を固定された一様グリッドから事前に計算することで第一種誤差が制御される。
• 第二種誤差の上界は βₙₘ = ℙ(zₙₘ(α) ≥ Γₙₘ) として導出され、ここで Γₙₘ = Δ‖F⁻¹‖⁻¹_{L²(νₓ)} − (x/n)²/ᵈ − (x/m)²/ᵈ − r(n+m) であり、各項が異なる誤差要因を表す。
• 本手法は漸近的一貫性を達成する。標本サイズが増加するにつれ、第二種誤差の上界 βₙₘ は対立仮説（Δ > 0）のもとで0に収束する。
• Vinho Verdeワインデータセットにおける実験では、白ワイン（品質5,6,7）と赤ワイン（品質5,6）の間で化学的組成に統計的に有意な差が確認され、検定の実証的パワーが裏付けられた。
• 第二種誤差の収束速度は、標本サイズの増加に伴い向上することが経験的に確認され、同じ有意水準（α = 0.95）において、赤ワイン群の方が白ワイン群よりも収束が速いことが観察された。