[論文レビュー] Efficient computation of p-adic heights

David Harvey|ArXiv.org|Aug 24, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、特に大きな $p$ および高い $p$-進精度の下で、$ \mathbf{Q}$ 上の楕円曲線上の $p$-進高さを計算する際に顕著な高速化を提示している。Mazur, Stein, および Tate のアルゴリズムを最適化することで、$p$-進モジュラー形式 $\mathbf{E}_2$ および $p$-進シグマ関数の計算を改善し、$\mathbf{E}_2$ を mod $p^N$ で計算する時間計算量を $\widetilde{O}(pN^2)$ にまで低減した。これにより、$p \sim 10^{11}$ の場合でも数千桁の $p$-進精度を実用的に達成できるようになった。

ABSTRACT

We analyse and drastically improve the running time of the algorithm of Mazur, Stein and Tate for computing the canonical cyclotomic p-adic height of a point on an elliptic curve E/Q, where E has good ordinary reduction at p >= 5.

研究の動機と目的

• 楕円曲線上の $p$-進高さを計算する際の、元の Mazur–Stein–Tate アルゴリズムにおける実行時間の上限が存在しないという問題を解決すること。
• $p \geq 5$ で良い普通還元を持つ大規模な素数に対し、$p$-進高さの実用的計算を可能にすること。
• 出力精度 $M$ を保証するための、中間計算における必要な $p$-進精度のタイトな境界を提供すること。
• 特に大きな $p$ および高精度設定において、アルゴリズムの漸近的実行時間を最適化すること。
• 標準的なハードウェアでも実装可能であることを保証し、$p$-進 Birch および Swinnerton-Dyer 予想の研究への応用を支援すること。

提案手法

• Monsky–Washnitzer 共通ホモロジー上のフロベニウス作用素の行列を Kedlaya のアルゴリズムで計算し、$\mathbf{E}_2(E,\omega)$ mod $p^N$ の効率的計算を可能にする。
• 新しい手法を用いて、$\mathbf{E}_2(E,\omega)$ を $\widetilde{O}(pN^2)$ 時間で計算し、$p > 6N$ の場合には $\widetilde{O}(p^{1/2}N^{5/2})$ 時間で計算可能である。
• $\mathbf{E}_2$ を用いて、理想 $I_N = (p^r, p^{r-1}t, \dots, t^r)$ に対して、$p$-進シグマ関数 $\sigma_p(t)$ を次数 $N-1$ まで計算する。
• $\sigma_p(t)$ を $I_N$ で計算する時間は $\widetilde{O}(N^2 \log p)$ であり、対数因子を除いて最適である。
• 正規化された $p$-進高さの公式を $\sigma_p(t)$ を用いて計算し、元の正規化と比較して $2p$ の補正係数を含む。
• 定理 3 を適用して、$\sigma_p(t)$ を $I_{M'+1}$ で計算した前提で、$h_p(P)$ を mod $p^M$ で $\widetilde{O}(C_P + M\log^2 p + M^2\log p)$ 時間で計算可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Mazur–Stein–Tate アルゴリズムの $p$-進高さ計算における漸近的実行時間は何か？ そして、どのように改善できるか？
• RQ2 大規模な素数 $p$ および高 $p$-進精度の下で、$\mathbf{E}_2(E,\omega)$ の計算を高速化できるか？
• RQ3 $I_N$ で $p$-進シグマ関数を効率的に計算する方法は何か？ また、最適な時間計算量は何か？
• RQ4 与えられた精度 $M$ での正しい出力を保証するための、中間ステップにおける最小の $p$-進精度は何か？
• RQ5 $p \sim 10^{11}$ または $M \sim 3000$ ディジットの状況で、有理点の $p$-進高さを実際に計算できるか？

主な発見

• $\mathbf{E}_2(E,\omega)$ を mod $p^N$ で計算する時間は $\widetilde{O}(pN^2)$ であり、$p > 6N$ の場合には $\widetilde{O}(p^{1/2}N^{5/2})$ にまで低減され、従来の方法に比べ顕著に向上した。
• $\sigma_p(t)$ を $I_N$ で計算する時間は $\widetilde{O}(N^2 \log p)$ であり、対数因子を除いて最適である。
• $p = 10^{11} + 3$ および $M = 6$ の場合、$\mathbf{E}_2$ の計算は 42 分未満で完了し、最終的な高さの計算はほぼ瞬時に終了する。元の方法が要求する $10^{22}$ ビットのメモリを回避できた。
• $p = 5$ および $M = 3000$ の場合、$\mathbf{E}_2$ の計算に 229 秒、$\sigma_p(t)$ に 158 秒、$h_p(P)$ に 6 秒を要し、高精度での実行可能性が示された。
• この方法は、元のアルゴリズムの $M^4$ 時間コストを有するべきべき級数展開を回避しており、高精度ケースでは最大 $10^7$ 倍の高速化が達成された。
• アルゴリズムは SAGE で実装されており、自由に利用可能であり、$p$-進 $L$-関数およびレギュレーター計算への実用的応用を支援している。