[論文レビュー] Efficient Enumeration of Dominating Sets for Sparse Graphs

Kurita, Kazuhiro, K. Wasa+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 26被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、スパースなグラフにおけるすべての支配集合を列挙する2つの効率的なアルゴリズムを提示する：EDS-Dはk-退化グラフにおいて1解あたりO(k)時間で実行され、EDS-Gは閉路長が9以上であるグラフにおいて1解あたり定数時間の償却時間で実行される。これらの手法は、退化度と閉路長の制約を用いて構造的スパarsityを活用し、最適な出力に依存する性能を達成する。

ABSTRACT

A dominating set $D$ of a graph $G$ is a set of vertices such that any vertex in $G$ is in $D$ or its neighbor is in $D$. Enumeration of minimal dominating sets in a graph is one of central problems in enumeration study since enumeration of minimal dominating sets corresponds to enumeration of minimal hypergraph transversal. However, enumeration of dominating sets including non-minimal ones has not been received much attention. In this paper, we address enumeration problems for dominating sets from sparse graphs which are degenerate graphs and graphs with large girth, and we propose two algorithms for solving the problems. The first algorithm enumerates all the dominating sets for a $k$-degenerate graph in $O(k)$ time per solution using $O(n + m)$ space, where $n$ and $m$ are respectively the number of vertices and edges in an input graph. That is, the algorithm is optimal for graphs with constant degeneracy such as trees, planar graphs, $H$-minor free graphs with some fixed $H$. The second algorithm enumerates all the dominating sets in constant time per solution for input graphs with girth at least nine.

研究の動機と目的

• スパースグラフにおけるすべての支配集合（最小でないものも含む）の効率的列挙アルゴリズムの開発。
• 実世界の応用において関連性があるにもかかわらず、非最小支配集合列挙への注目が不足している問題への対処。
• 退化度と閉路長といった構造的スパarsityの測度を活用し、1解あたり最適な時間性能を達成する出力に依存するアルゴリズムの設計。
• 木や平面グラフなどの定数退化度または大閉路長を示すグラフクラスにおける効率的列挙の理論的基盤の提供。

提案手法

• k-退化度に基づく頂点順序を用いて、1解あたりO(k)時間ですべての支配集合を列挙するEDS-Dを提案。
• 重複なしで完全カバーを保証するため、標準的な親子関係を有する逆探索フレームワークを用いる。
• EDS-Gでは、閉路長の制約（≥9）を活用し、各支配集合が有界な数の子孫を持つことを証明し、1解あたりの償却時間定数を達成する。
• 構造的補題を適用して、近傍とサイクル制約に基づき、支配集合の子、孫、曾孫の数を有界化する。
• 潜在関数解析を用いて、再帰的探索のコストを子孫に分散させ、EDS-Gでは1解あたりO(1)の償却時間性能を達成する。
• 短いサイクルの不在や共通近傍の制限といったグラフ理論的性質を用いて、一意性と分岐の有界性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スパースグラフにおいて、非自明な時間上限を超える性能を達成できる、すべての支配集合（最小でないものも含む）の出力に依存する列挙が可能か？
• RQ2 グラフの退化度が、1解あたりO(n)やO(∆)より速い列挙アルゴリズムの実現を可能にするか？
• RQ3 グラフの閉路長を活用することで、すべての支配集合の列挙を定数時間の償却時間で達成できるか？
• RQ4 高閉路長または低退化度を示す密度の高いグラフクラスにおいて、多項式遅延または定数償却時間で動作するアルゴリズムを設計可能か？
• RQ5 退化度や閉路長といった構造的性質が、分岐係数および支配集合総数にどのように影響を与えるか？

主な発見

• EDS-Dは、k-退化グラフにおいて1解あたりO(k)時間ですべての支配集合を列挙し、木、平面グラフ、H-マイナーを含まないグラフなど、定数退化度を示すグラフクラスにおいて最適な性能を達成する。
• EDS-Gは、閉路長が9以上であるグラフにおいて1解あたりO(1)の償却時間で実行され、短いサイクルの不在を活用して子孫の成長を有界化する。
• 両アルゴリズムは、標準的な親子関係を有する逆探索フレームワークを用いて、完全かつ重複なしの列挙を保証する。
• 両アルゴリズムの空間計算量はO(n + m)であり、大規模なスパースグラフにおいてもメモリ効率的である。
• 理論的解析により、各再帰呼び出しのコストが子孫に分散され、閉路長に基づくアルゴリズムでは定数時間性能が保証される。
• 構造的スパarsity（退化度と閉路長で測定）が、自明な境界を超えて列挙効率を著しく向上させられることを示している。