[論文レビュー] Efficient Inner-product Algorithm for Stabilizer States

Héctor J. García, Igor L. Markov+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 18被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、任意の安定化子状態を計算基底状態に写像する標準回路合成を活用して、安定化子状態間の内積を計算する効率的な $O(n^3)$ アルゴリズムを提示する。主な貢献は、任意の $n$-キュービット安定化子状態が正確に $4(2^n - 1)$ 個の近隣安定化子状態を持つことを証明し、実験的に検証した点であり、任意の量子状態に対する安定化子フレームへの拡張も含まれる。

ABSTRACT

Large-scale quantum computation is likely to require massive quantum error correction (QEC). QEC codes and circuits are described via the stabilizer formalism, which represents stabilizer states by keeping track of the operators that preserve them. Such states are obtained by stabilizer circuits (consisting of CNOT, Hadamard and Phase only) and can be represented compactly on conventional computers using Omega(n^2) bits, where n is the number of qubits. Although techniques for the efficient simulation of stabilizer circuits have been studied extensively, techniques for efficient manipulation of stabilizer states are not currently available. To this end, we design new algorithms for: (i) obtaining canonical generators for stabilizer states, (ii) obtaining canonical stabilizer circuits, and (iii) computing the inner product between stabilizer states. Our inner-product algorithm takes O(n^3) time in general, but observes quadratic behavior for many practical instances relevant to QECC (e.g., GHZ states). We prove that each n-qubit stabilizer state has exactly 4(2^n - 1) nearest-neighbor stabilizer states, and verify this claim experimentally using our algorithms. We design techniques for representing arbitrary quantum states using stabilizer frames and generalize our algorithms to compute the inner product between two such frames.

研究の動機と目的

• 安定化子状態の操作を効率化するアルゴリズムの開発。安定化子状態は量子誤り訂正およびフェイルセーフ量子計算の中心的役割を果たす。
• 安定化子回路の効率的シミュレーションは知られているが、安定化子状態間の内積計算に効率的技術が不足しているという問題に取り組む。
• 任意の安定化子状態を計算基底状態に写像する標準回路合成アルゴリズムを設計し、$H$-$C$-$CZ$-$P$-$H$ ブロック構造を用いる。
• 任意の $n$-キュービット安定化子状態が正確に $4(2^n - 1)$ 個の近隣安定化子状態を持つことを証明し、実験的に検証する。これは量子状態空間における幾何的性質として注目される。

提案手法

• 先行研究の理論的知見を活用して、$H$-$C$-$CZ$-$P$-$H$ ブロック構造を持つ回路を用いて、任意の安定化子状態を計算基底状態に写像する標準回路合成アルゴリズムを設計する。
• 安定化子形式を用いて、安定化子群の生成子による表現を採用することで、$O(n^2)$ の古典的表現が可能となる。
• 内積アルゴリズムを実装し、$|\braket{\psi|\varphi}|$ を計算する。具体的には、$|\psi\rangle$ を $|0\cdots0\rangle$ に写像する回路を合成し、その後 $|\varphi\rangle$ との重なりを測定する。
• 安定化子フレーム（任意の量子状態を安定化子状態と位相因子の重ね合わせとして表現する枠組み）に一般化することで、純粋な安定化子状態に限らない内積計算を可能にする。
• 内積計算アルゴリズムを用いて、任意の $n$-キュービット安定化子状態が正確に $4(2^n - 1)$ 個の近隣安定化子状態を持つという幾何的主張を検証する。近隣状態とは、$|\braket{\psi|\varphi}| \neq 1$ で最大の内積絶対値を持つ状態として定義される。
• 量子コードやエンタングル状態（例：GHZ状態）を用いた実験的評価により、$O(n^3)$ の最悪計算量であるが、実際には二次関数的スケーリングを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $n$-キュービット安定化子状態に対して、正確に何個の近隣安定化子状態が存在するか。この数を証明し、計算的に検証可能か。
• RQ2 標準回路合成を用いて、2つの安定化子状態間の内積を効率的に計算するアルゴリズムを設計可能か。
• RQ3 安定化子形式をどのように一般化して任意の量子状態を表現できるか。また、一般化されたフレーム間の内積はどのように計算できるか。
• RQ4 GHZ状態や誤り訂正コード状態などの関連する量子情報状態において、内積アルゴリズムの実用的性能はいかが。
• RQ5 標準回路合成アルゴリズムを効率的に構築できるか。これにより、高速な状態変換と内積計算が可能になるか。

主な発見

• 本稿では、任意の $n$-キュービット安定化子状態が正確に $4(2^n - 1)$ 個の近隣安定化子状態を持つことを証明した。近隣状態とは、非自明な最大内積絶対値を持つ状態として定義される。
• 内積アルゴリズムは一般に $O(n^3)$ 時間で実行されるが、GHZ状態や量子誤り訂正コード状態などの実用的インスタンスでは二次関数的スケーリングを示す。
• アルゴリズムは、さまざまな安定化子状態における近隣状態の理論的数え上げを、実験的評価により正当化した。
• フレームワークは安定化子フレームに一般化され、安定化子状態の重ね合わせとして表現される任意の量子状態間の内積計算を可能にした。
• 標準回路合成アルゴリズムは、任意の入力安定化子状態に対して $H$-$C$-$CZ$-$P$-$H$ ブロック構造を持つ回路を生成し、効率的な状態変換と重なり計算を可能にした。
• 性能評価により、多くの関連する量子状態（エンタングル状態やコード状態など）において、実用的には $O(n^2)$ のスケーリングを示し、アルゴリズムの効率性が確認された。