[論文レビュー] Efficient Quantum Circuits for Accurate State Preparation of Smooth, Differentiable Functions

Adam Holmes, A. Y. Matsuura|arXiv (Cornell University)|May 9, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 42被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、ガウス分布、対数正規分布、ローレンツ分布などの滑らかで微分可能かつ実数値の関数を、高い忠実度で準備する線形時間のアルゴリズムを提示する。滑らかで微分可能な実数関数を、導関数が有界であると仮定し、その関数を区分的多項式近似として表現し、その近似を行列積状態（MPS）に符号化する。さらに、低ランクMPSの圧縮とゲート抽出を活用することで、極めて圧縮された状態であっても99％以上の忠実度を達成でき、特に高圧縮状態においても安定した性能を示す。この手法により、近位量子ハードウェア上で高精度な量子状態初期化が可能になる。

ABSTRACT

Effective quantum computation relies upon making good use of the exponential information capacity of a quantum machine. A large barrier to designing quantum algorithms for execution on real quantum machines is that, in general, it is intractably difficult to construct an arbitrary quantum state to high precision. Many quantum algorithms rely instead upon initializing the machine in a simple state, and evolving the state through an efficient (i.e. at most polynomial-depth) quantum algorithm. In this work, we show that there exist families of quantum states that can be prepared to high precision with circuits of linear size and depth. We focus on real-valued, smooth, differentiable functions with bounded derivatives on a domain of interest, exemplified by commonly used probability distributions. We further develop an algorithm that requires only linear classical computation time to generate accurate linear-depth circuits to prepare these states, and apply this to well-known and heavily-utilized functions including Gaussian and lognormal distributions. Our procedure rests upon the quantum state representation tool known as the matrix product state (MPS). By efficiently and scalably encoding an explicit amplitude function into an MPS, a high fidelity, linear-depth circuit can directly be generated. These results enable the execution of many quantum algorithms that, aside from initialization, are otherwise depth-efficient.

研究の動機と目的

• 近位量子ハードウェア上で任意の量子状態を高精度に初期化するという、解決が困難な課題に対処すること。
• モンテカルロ法や量子機械学習などの実用的量子アルゴリズムの実行を可能にするために、効率的でスケーラブルな状態初期化を提供すること。
• 導関数が有界な滑らかで微分可能かつ実数値の関数に対して、高精度な量子回路を構築する手法を開発すること。
• 古典的計算時間に対して線形にスケーリングされ、系のサイズが増加しても高い忠実度を維持するアルゴリズムを実現すること。

提案手法

• 目的の滑らかな関数（導関数が有界）を区分的多項式近似により表現する。
• 各多項式セグメントを、制御された結合次元を持つ行列積状態（MPS）に符号化する。
• 忠実度を保持しつつ、MPSを低く、有界な結合次元に圧縮するために変分的圧縮を適用する。
• ran2020encoding で提示された既知のアルゴリズムを用いて、圧縮されたMPSから線形深さの量子回路を抽出する。
• 全手順を線形古典的実行時間に最適化し、主なボトルネックは変分的MPS圧縮である。
• 調整可能なアプローチであり、多項式の次数や近似戦略を変更することで、精度とリソース使用量のバランスを調整可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 導関数が有界な滑らかで微分可能かつ実数値の関数を、線形深さかつ線形サイズの量子回路で高忠実度で準備できるか？
• RQ2 これらの関数の行列積状態表現が、量子ビット数の増加に伴い、指数関数的に減少するフォン・ノイマンエントロピーを示すか？ これにより効率的な圧縮が可能になるか？
• RQ3 区分的多項式近似と変分的MPS圧縮を組み合わせることで、線形古典的計算時間内で高忠実度の状態準備が可能か？
• RQ4 特に高圧縮状態の分布に対して、構築された状態の忠実度が系のサイズや関数パラメータ化にどのように依存するか？
• RQ5 このアルゴリズムは、低次の多項式でよく近似可能な他の解析的関数や古典的データセットへ、どの程度一般化可能か？

主な発見

• ガウス分布、対数正規分布、ローレンツ分布に対して、立方多項式を用いることで99％を超える状態準備忠実度を達成した。
• 第5次多項式を用いることで、それぞれ99.8％、99.91％、99.95％の忠実度に向上し、多様な分布にわたって高い精度を示した。
• 構築された回路と理論的最適状態との間の最適性比は、系のサイズが増加しても一定または改善を示し、スケーラビリティを示している。
• SVDに基づく χ=2 のMPS近似は、より大きな系のサイズに対しても高い忠実度を維持しており、低結合次元表現が効果的にスケーリング可能であるという仮説を支持している。
• 変分的MPS圧縮が主な計算ボトルネックであるが、線形時間の古典的構築が可能であり、線形深さの量子回路が得られる。
• 実験的結果から、離散化の増加に伴い精度の低下が見られず、大規模な量子系へのスケーリングの可能性を示唆している。