[論文レビュー] Efficient Sequential and Parallel Algorithms for Multistage Stochastic Integer Programming Using Proximity

Jana Cslovjecsek, Friedrich Eisenbrand+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、強モデルにおいてほぼ線形時間で動作する、最初の固定パラメータ可 tractable (FPT) アルゴリズムを、主木深さと ∥A∥∞ に基づく新しい近接性結果を用いて提示する。この手法は、補完性の緩和と再帰的分解を活用し、f(d, ∥A∥∞) · n log^O(2d) n の時間計算量を達成する。並列実装は PRAM モデルで、n 個のプロセッサを用いて log^O(2d) n 時間で実行可能である。

ABSTRACT

We consider the problem of solving integer programs of the form $\min \{\,c^\intercal x\ \colon\ Ax=b, x\geq 0\}$, where $A$ is a multistage stochastic matrix in the following sense: the primal treedepth of $A$ is bounded by a parameter $d$, which means that the columns of $A$ can be organized into a rooted forest of depth at most $d$ so that columns not bound by the ancestor/descendant relation in the forest do not have non-zero entries in the same row. We give an algorithm that solves this problem in fixed-parameter time $f(d,\|A\|_{\infty})\cdot n\log^{O(2^d)} n$, where $f$ is a computable function and $n$ is the number of rows of $A$. The algorithm works in the strong model, where the running time only measures unit arithmetic operations on the input numbers and does not depend on their bitlength. This is the first fpt algorithm for multistage stochastic integer programming to achieve almost linear running time in the strong sense. For the case of two-stage stochastic integer programs, our algorithm works in time $2^{(2\|A\|_\infty)^{O(r(r+s))}}\cdot n\log^{O(rs)} n$. The algorithm can be also parallelized: we give an implementation in the PRAM model that achieves running time $f(d,\|A\|_{\infty})\cdot \log^{O(2^d)} n$ using $n$ processors. The main conceptual ingredient in our algorithms is a new proximity result for multistage stochastic integer programs. We prove that if we consider an integer program $P$, say with a constraint matrix $A$, then for every optimum solution to the linear relaxation of $P$ there exists an optimum (integral) solution to $P$ that lies, in the $\ell_{\infty}$-norm, within distance bounded by a function of $\|A\|_{\infty}$ and the primal treedepth of $A$. On the way to achieve this result, we prove a generalization and considerable improvement of a structural result of Klein for multistage stochastic integer programs.

研究の動機と目的

• 主木深さが有界な多段階確率的整数計画問題に対して、効率的な逐次的および並列的アルゴリズムの開発を目的とする。
• 入力のビット長に依存しない強計算モデルにおける固定パラメータ可 tractability を達成すること。
• 主木深さと ∥A∥∞ でパrameter化された、最適整数解と線形緩和解との間の新しい近接性境界を確立すること。
• 特に二段階問題において、多項式的およびパrameter依存的時間計算量の両面で、先行研究を改善すること。

提案手法

• 任意の最適線形緩和解に対して、最適整数解が ∥A∥∞ と主木深さ d の関数で有界される ℓ∞-距離内に存在することを保証する、新しい近接性結果を導入する。
• 線形緩和解に従って誘導される、木深さに基づく分岐戦略を適用し、近接性境界を活用して探索空間を制限する。
• 補完性の緩和を用いてタイトな制約を同定し、変数数を減らした部分問題に問題を縮小する。
• 再帰的分解を用いる：行列がブロック分解可能であれば、部分問題を並列に解く。そうでなければ、双対に基づく線形計画問題を用いて最初の変数を固定する。
• 削減された線形計画問題の双対解を用いて最適変数値を計算し、Lemma 6.3 に類似した手法により、各再帰レベルで log^O(2d) n 時間を達成する。
• PRAM モデルで、部分問題をプロセッサに割り当て、再帰レベルを並列に実行することで、アルゴリズムを並列化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強モデルにおいて、多段階確率的整数計画問題の固定パラメータ可 tractable アルゴリズムを、ほぼ線形時間計算量で設計できるか？
• RQ2 多段階確率的計画問題において、最適整数解と最適線形緩和解との間の構造的関係は何か？
• RQ3 二段階確率的計画問題におけるパrameter r と s への依存性を、漸近的に改善できるか？
• RQ4 主木深さと ∥A∥∞ に関する固定パラメータ可 tractability を維持しながら、ほぼ線形時間計算量を達成できるか？
• RQ5 線形個のプロセッサを用いて、多対数時間で効率的に並列化できるか？

主な発見

• アルゴリズムは f(d, ∥A∥∞) · n log^O(2d) n 時間で実行され、多段階確率的整数計画問題において強モデルでほぼ線形時間で動作する。
• 二段階確率的計画問題では、実行時間は 2^(2∥A∥∞)^O(r(r+s)) · n log^O(rs) n であり、多項式的およびパrameter依存的両面で、先行研究を改善している。
• 近接性結果により、任意の最適線形緩和解から、最適整数解が ∥A∥∞ と主木深さ d の関数で有界される ℓ∞-距離内に存在することが保証される。
• アルゴリズムは PRAM モデルで並列化可能であり、n 個のプロセッサを用いて log^O(2d) n 時間で実行可能で、逐次実行時間の対数的要因の範囲内で一致する。
• r = 1 の場合、s への依存性は指数時間仮説の下で漸近的にタイトであることが確認され、この領域での最適性が裏付けられる。
• 本手法は、Klein の多段階確率的整数計画問題に関する構造的結果を一般化・改善し、近接性に基づく新しい分岐戦略を可能にする。