[論文レビュー] Eigenvalue and Dirichlet problem for fully-nonlinear operators in non smooth domains

Isabeau Birindelli, Françoise Demengel|ArXiv.org|Mar 26, 2008

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 18被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、一様外部円錐条件を満たす有界領域において、完全非線形で特異的・退化する楕円型作用素に対する固有値およびディリクレ問題の解の存在を確立する。円錐条件を用いてバリア関数を構成し、粘性解の技法を適応することで、正の固有関数の存在を示し、正則領域による定義で得られる固有値 $\lambda_e$ が、正の上位解が存在するような $\lambda$ の上界に一致することを示し、最大原理および $\lambda < \u03bb_e$ の場合のディリクレ問題の可解性を保証する。主な貢献は、$C^2$境界正則性に依存せず、幾何的バリア法を用いることで、非滑らか領域への固有値理論の拡張を達成したことにある。

ABSTRACT

In this paper we study the maximum principle, the existence of eigenvalue and the existence of solution for the Dirichlet problem for operators which are fully-nonlinear, elliptic but presenting some singularity or degeneracy which are similar to those of the p-Laplacian, the novelty resides in the fact that we consider the equations in bounded domains which only satisfy the exterior cone condition.

研究の動機と目的

• 完全非線形で特異的・退化する楕円型作用素に対する主固有値およびディリクレ問題の理論を、$C^2$境界を要件としない一様外部円錐条件を満たす領域へ拡張すること。
• このような非滑らか領域において、正の固有関数および明確に定義された固有値 $\lambda_e$ の存在を確立すること。
• $\lambda_e = \tilde{\lambda}$ を証明し、ここで $\tilde{\lambda}$ は正の上位解が存在するような $\lambda$ の上界であることを示し、固有値を最大原理の条件と関連付けること。
• $\lambda < \u03bb_e$ のすべての $\lambda$ に対して最大原理が成り立ち、右辺が負であるディリクレ問題が可解であることを示すこと。

提案手法

• 一様外部円錐条件を用いてバリア関数 $u_o$ を構成し、先行研究で用いられる $C^2$ 境界正則性の必要性を置き換える。
• 固有値 $\bar{\lambda}(\Omega)$ を、不等式 $F[u] + h\cdot\nabla u|\nabla u|^\alpha + (V+\lambda)u^{1+\alpha} \leq 0$ に対して正の上位解が存在するような $\lambda$ の上界として定義する。
• $\lambda_e = \sup\{\lambda(\Omega') \mid \Omega \subset\subset \Omega' \text{ は正則かつ有界}$ として定義し、滑らかな領域による近似を用いて固有値を定義する。
• $\tilde{\lambda}$ を、$\overline{\Omega}$ で正の上位解が存在するような $\lambda$ の上界として定義し、コンパクトネスおよび粘性解の収束を用いて $\lambda_e = \tilde{\lambda}$ を証明する。
• 粘性解理論および比較原理を用いて、$\lambda < \lambda_e$ の場合の、$f \leq 0$ を満たすディリクレ問題の解の存在およびホルダー連続性を証明する。
• 一様ホルダー評価およびバリア構成を用いて、$\Omega$ 内で正であり $φ_e > 0$ で $∂\Omega$ で消失する極限解 $\phi_e$ を抽出し、$\lambda_e$ を用いた固有値方程式を満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全非線形で特異的・退化する作用素に対する主固有値およびディリクレ問題を、$C^2$ 境界正則性を要件としない一様外部円錐条件を満たす領域において定義・解くことは可能か？
• RQ2 滑らかな領域による近似で定義される固有値 $\lambda_e$ は、$\overline{\Omega}$ で正の上位解が存在するような $\lambda$ の上界 $\tilde{\lambda}$ に等しいか？
• RQ3 領域が円錐条件のみを満たす場合、$\lambda < \bar{\lambda}(\Omega)$ のとき最大原理が成り立つか？ これは $\lambda_e = \bar{\lambda}(\Omega)$ と同値か？
• RQ4 領域が非滑らかであっても、$\lambda < \lambda_e$ の場合、ディリクレ問題は解けるか？ その解は正であり、ホルダー連続か？
• RQ5 固有値 $\lambda_e$ と、$∂\Omega$ で消失する正の固有関数 $\phi_e$ の存在との関係は何か？

主な発見

• $\lambda_e$ が正則領域 $\Omega'$ を含むすべての $\Omega'$ に対して $\lambda(\Omega')$ の上界として定義されるのと同様に、$\tilde{\lambda}$ が $\overline{\Omega}$ で正の上位解が存在するような $\lambda$ の上界であるとし、$\lambda_e = \tilde{\lambda}$ を証明した。
• $\Omega$ 内で正であり、$∂\Omega$ で消失する正の固有関数 $\phi_e > 0$ が存在し、方程式 $F[\phi_e] + h\cdot\nabla\phi_e|\nabla\phi_e|^\alpha + (V + \lambda_e)\phi_e^{1+\alpha} = 0$ を $\Omega$ 内で満たすことが確認され、非滑らか領域における主固有関数の存在が裏付けられた。
• すべての $\lambda < \lambda_e$ に対して最大原理が成り立ち、任意の連続関数 $f \leq 0$ に対して、ディリクレ問題 $F[u] + h\cdot\nabla u|\nabla u|^\alpha + (V + \lambda)u^{1+\alpha} = f$ in $\Omega$, $u = 0$ on $\partial\Omega$ は粘性解 $u \geq 0$ を持ち、$\gamma$-ホルダー連続である。
• 反復法で構成された解列 $u_n$ は単調増加であり、$Cu_o$ で有界である。ここで $u_o$ はバリア関数である。これにより、ホルダー連続性およびコンパクトネスを用いて解への収束が保証された。
• 正の上位解が存在するような $\lambda$ の上界として定義される $\bar{\lambda}(\Omega)$ に対して、$\lambda_e \leq \bar{\lambda}(\Omega)$ が成り立つ。$\Omega$ が滑らかであれば等号が成り立つが、円錐条件のみを満たす領域では等号の成立は未解決のままである。
• 最大原理が $\lambda < \bar{\lambda}(\Omega)$ のとき成り立つことは、$\lambda_e = \bar{\lambda}(\Omega)$ と同値であり、すべての $\lambda < \bar{\lambda}(\Omega)$ に対してディリクレ問題が可解であることに同値である。