[論文レビュー] Eigenvalues of the drifted Laplacian on complete metric measure spaces

Xu Cheng, Detang Zhou|arXiv (Cornell University)|May 17, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 28被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、∞-Bakry-Émery リッチ曲率が a/2 で下から有界な完備な計量測度空間上での、ずれたラプラシアン Δ_f の最初の非ゼロ固有値に関する剛性定理を確立する。もし下界 a/2 が多重度 k ≥ 1 で達成されるならば、多様体は Σ^{n−k} × ℝ^k として等長に分解され、重み関数 f は f(x,0) + (a/4)|t|² に分解され、これは空間が勾配収縮リッチソリトンを部分空間として含むことを示唆する。この結果は、非コンパクトで重み付きリーマン多様体への Lichnerowicz–Obata 型剛性の拡張を実現する。

ABSTRACT

I In this paper, first we study a complete smooth metric measure space $(M^n,g, e^{-f}dv)$ with the ($\infty$)-Bakry-Émery Ricci curvature $ extrm{Ric}_f\ge \frac a2g$ for some positive constant $a$. It is known that the spectrum of the drifted Laplacian $Δ_f$ for $M$ is discrete and the first nonzero eigenvalue of $Δ_f$ has lower bound $\frac a2$. We prove that if the lower bound $\frac a2$ is achieved with multiplicity $k\geq 1$, then $k\leq n$, $M$ is isometric to $Σ^{n-k} imes \mathbb{R}^k$ for some complete $(n-k)$-dimensional manifold $Σ$ and by passing an isometry, $(M^n,g, e^{-f}dv)$ must split off a gradient shrinking Ricci soliton $(\mathbb{R}^k, g_{can}, \frac{a}{4}|t|^2)$, $t\in \mathbb{R}^k$. This result has an application to gradient shrinking Ricci solitons. Secondly, we study the drifted Laplacian $\mathcal{L}$ for properly immersed self-shrinkers in the Euclidean space $\mathbb{R}^{n+p}$, $p\geq1$ and show the discreteness of the spectrum of $\mathcal{L}$ and a logarithmic Sobolev inequality.

研究の動機と目的

• 完備な計量測度空間 (Mⁿ, g, e^{-f}dv) において、リッチ曲率が Ric_f ≥ a/2g を満たすとき、ずれたラプラシアン Δ_f の最初の非ゼロ固有値の剛性を調査すること。
• 固有値下界 a/2 が多重度 k ≥ 1 で達成される場合、そのような空間の幾何的構造を同定すること。
• スペクトル的および曲率的制約を用いて、非コンパクトで重み付きリーマン多様体への Lichnerowicz–Obata 型定理を拡張すること。
• ℝ^{n+p} 内の適切に埋め込まれた自己収縮体上でのずれたラプラシアンのスペクトルの離散性を確立し、対応する対数的ソボレフ不等式を証明すること。

提案手法

• Bakry–Émery–Morgan–Hein–Naber のスペクトルギャップ定理を用い、Ric_f ≥ a/2g の下で離散スペクトルが保証され、λ₁(Δ_f) ≥ a/2 が成り立つことを示す。
• H¹(M,μ) から L²(M,μ) へのコンパクト埋込みを示すために、De la Vallée Poussin の基準を用いて一様可積分性を評価する。
• H¹(M,μ) のコンパクト埋込みと Δ_f の離散スペクトルの同値性を用い、対数的ソボレフ不等式からスペクトルの離散性を導出する。
• 固有関数の構造とスペクトル推定における等号成立ケースを用いて、等長分解を介して分割定理を導出する。
• 重み付きラプラシアン Δ_f = Δ − ⟨∇f, ∇·⟩ 及び L²(M, e^{-f}dv) 上での自己共役性を分析する。
• 対数的ソボレフ不等式 (1) を用い、Fatou の補題と近似法により、C₀∞(M) から H¹(M,μ) への結果の拡張を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ずれたラプラシアン Δ_f の最初の非ゼロ固有値が、正の多重度で下界 a/2 を達成するための幾何的条件は何か？
• RQ2 固有値 λ₁(Δ_f) = a/2 が多重度 k ≥ 1 で達成されるとき、完備な計量測度空間 (Mⁿ, g, e^{-f}dv) の必要十分な幾何的構造は何か？
• RQ3 Ric_f ≥ a/2g を満たす非コンパクトで重み付きリーマン多様体に対して、Lichnerowicz–Obata の定理を拡張できるか？
• RQ4 ℝ^{n+p} 内の適切に埋め込まれた自己収縮体上では、ずれたラプラシアンのスペクトルが離散的のまま保たれるか？
• RQ5 対数的ソボレフ不等式と、このような空間上での Δ_f のスペクトル離散性との関係は何か？

主な発見

• 固有値 λ₁(Δ_f) = a/2 が多重度 k ≥ 1 で達成されるならば、多様体 M はある完備な (n−k) 次元多様体 Σ と ℝ^k の等長積 Σ^{n−k} × ℝ^k に等長に分解される。
• 重み関数 f は f(x,t) = f(x,0) + (a/4)|t|² に分解され、これは空間が勾配収縮リッチソリトン (ℝ^k, g_can, (a/4)|t|²) を部分空間として含むことを示唆する。
• 固有値 a/2 の多重度 k は 1 ≤ k ≤ n を満たす。
• Σ 要因における Bakry–Émery リッチ曲率は Ric_f^Σ ≥ (a/2)g_Σ を満たし、λ₁(Δ_f^Σ) > a/2 である。
• p ≥ 1 のとき、ℝ^{n+p} 内の適切に埋め込まれた自己収縮体上では、ずれたラプラシアン Δ_f のスペクトルは離散的である。
• このような自己収縮体上では、曲率下界 a に依存する定数を有する対数的ソボレフ不等式が成立する。