[論文レビュー] Eigenvectors and eigenfunctionals of homogeneous order-preserving maps

Horst R. Thieme|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2013

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 25被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、順序付きノルム線型空間内の正規錐上で、コンパクト性の条件を満たす写像のべき乗を含む条件下で、同次的かつ順序を保つ写像に対して正の固有ベクトルおよび固有汎関数の存在を確立する。主な貢献は、Krein-Rutman定理の非線形拡張であり、このような写像が錐スペクトル半径に関連する正の固有ベクトルを有することを証明する。応用として、二性別人口モデルが提示される。

ABSTRACT

This paper considers homogeneous order preserving continuous maps on the normal cone of an ordered normed vector space. It is shown that certain operators of that kind which are not necessarily compact themselves but have a compact power have a positive eigenvector that is associated with the cone spectral radius. We also derive conditions for the existence of homogeneous order preserving eigenfunctionals. Our results are illustrated in a model for spatially distributed two-sex populations.

研究の動機と目的

• 順序付きノルム線型空間上での非線形同次的順序を保つ写像へ古典的Krein-Rutman定理を拡張すること。
• このような写像が錐スペクトル半径に関連する正の固有ベクトルを有するための条件を確立すること。
• 同次的順序を保つ固有汎関数の存在条件を導出すること。
• 理論的結果を空間的に分布した二性別人口モデル（交配ダイナミクスを含む）に適用すること。
• 正規線形作用素のスペクトル理論を、非線形同次的順序を保つ写像のクラスへ一般化すること。

提案手法

• 写像 B の錐スペクトル半径 r₊(B) を、‖x‖ ≤ 1 を満たす正の錐 X₊ 内の x に対して Bx のノルムの上限として定義する。
• 写像のべきがコンパクトであることを意味する「べきコンパクト性」の概念を導入する。
• 写像の点における方向微分を用いて、同次的写像を構成し、元の写像が順序を保つならば、その構成写像も順序を保つことを示す。
• 同次的かつ順序を保つ写像がべきコンパクトであるならば、その錐スペクトル半径に対応する正の固有ベクトルを有することを証明する。
• φ∘B = r₊(B)φ を満たす正で有界かつ同次の固有汎関数 φ: X₊ → ℝ₊ の存在を確立する。
• 一般理論を空間的に分布した二性別人口モデルに適用し、L¹ 空間およびBaire測度を用いた測度論的議論により、関連作用素のコンパクト性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同次的かつ順序を保つ写像が正規錐上で正の固有ベクトルを有するための条件は何か？
• RQ2 コンパクトな正規線形作用素のスペクトル理論を、非線形同次的順序を保つ写像へ拡張できるか？
• RQ3 このような写像に対して、同次的順序を保つ固有汎関数が存在するための条件は何か？
• RQ4 非線形同次的順序を保つ写像に対して、錐スペクトル半径はどのように特徴づけられるか？
• RQ5 写像のべきのコンパクト性が、固有ベクトルおよび固有汎関数の存在を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 同次的かつ順序を保つ写像 B がべきコンパクトであるならば、Bf = r₊(B)f を満たす正の固有ベクトル f ∈ X₊、f ≠ 0 が存在する。
• 錐スペクトル半径 r₊(B) は作用素スペクトル半径 ro(B) と一致し、線形スペクトル理論と整合的であることが保証される。
• φ∘B = r₊(B)φ を満たし、φ(f) > 0 を満たす正で有界かつ同次の固有汎関数 φ: X₊ → ℝ₊ が存在する。
• 二性別人口モデルの仮定の下で、写像 B は X₊ ∩ Xu の u-ノルムから X₊ = L¹₊(Ω) への写像としてコンパクトである。
• 二性別人口モデルにおいて、関連する積分作用素のコンパクト性と定理7.1の適用により、正の固有ベクトルの存在が確立される。
• 証明は、L¹(udη) における対角化議論と、有限測度に関する可積分関数空間における可算稠密部分集合の使用に依存する。