[論文レビュー] Eight classes of new Hopf algebras of dimension $128$ without the Chevalley property

Naihong Hu, Rongquan Xiong|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、特徴値がゼロの代数的に閉じた体上の次元128の有限次元ホップ代数の8つの新しいクラスを、一般化されたリフトメソッドを用いて分類している。非チェバリュのホップ代数（次元16）を余基底として用い、単純なイータ・ドリンフェルト・モジュールである無限小のブレード構造を持つ。これにより、古典的なポイント付きホップ代数の枠組み外の新しい例が得られる。

ABSTRACT

Classifying Hopf algebras of a given dimension is a hard and open question. Using the generalized lifting method, we determine all finite-dimensional Hopf algebras over an algebraically closed field of characteristic zero whose coradical generates a Hopf algebra $H$ of dimension $16$ without the Chevalley property and the corresponding infinitesimal braidings are simple objects in $\HYD$. In particular, we figure out $8$ classes of new Hopf algebras of dimension $128$ without the Chevalley property.

研究の動機と目的

• 特徴値がゼロの代数的に閉じた体上の次元128の有限次元ホップ代数で、チェバリュの性質を満たさないものを分類すること。
• コラディカルフィルトレーションがホップ代数のフィルトレーションでない場合に、標準フィルトレーションを用いて一般化されたリフトメソッドをホップ代数へ拡張すること。
• チェバリュの性質を満たさない次元16のホップ代数H上のイータ・ドリンフェルトカテゴリにおける単純対象である無限小のブレード構造を持つすべてのホップ代数を特定すること。
• このような単純なブレード付きベクトル空間から生じるニコルズ代数からの新しいホップ代数の族を構成し、分類すること。
• 与えられた制約下で、すべての有限次元ホップ代数が標準フィルトレーションの第1項によって生成されることを証明し、分類を完成させること。

提案手法

• チェバリュの性質が成り立たない場合にコラディカルフィルトレーションがホップ代数のフィルトレーションでないため、代わりに標準フィルトレーション {A_{[n]}} を用いた一般化されたリフトメソッドを適用する。
• 標準フィルトレーションを再帰的に定義する：A_{[0]} はコラディカル A_0 によって生成される部分代数であり、n ≥ 1 に対して A_{[n]} = A_{[n-1]} owedge A_{[0]} とする。
• ラドフォードの定理を用いて、関連する次数付きホップ代数 gr A ≅ R ⋊ H を分解する。ここで R はイータ・ドリンフェルトカテゴリ {}^H_H\mathcal{YD} 内のブレード付きホップ代数であり、H は次元16のコラディカルホップ代数である。
• 無限小のブレード構造 R(1) = P(R) を特定し、これは {}^H_H\mathcal{YD} 内の単純対象である。次に、有限次元のニコルズ代数 B(V) を持つようなすべてのブレード付きベクトル空間 V を分類する。
• 生成子 a, b, c, d, x, y 間の関係およびそれらのコプロダクト Δ(x), Δ(y), および単項式の Δ を明示的に計算する。
• コhomologicalおよび代数的制約（例：Δ(x^4) = x^4 ⊗ 1 + 1 ⊗ x^4）を用いて、x^4 = 0 などの必要十分関係を導出し、標準フィルトレーションを用いて、得られた代数がホップ代数であることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴値がゼロの代数的に閉じた体上の次元128の有限次元ホップ代数で、チェバリュの性質を満たさず、一般化されたリフトメソッドを用いて分類可能なものはどれか？
• RQ2 コラディカルフィルトレーションがホップ代数のフィルトレーションでないホップ代数に対して、標準フィルトレーションを用いることで一般化されたリフトメソッドをどのように適応できるか？
• RQ3 チェバリュの性質を満たさない次元16のホップ代数H上のホップ代数で、無限小のブレード構造が {}^H_H\mathcal{YD} 内の単純対象であるような、すべての有限次元ホップ代数の完全な族は何か？
• RQ4 H が群代数でない場合に、このような単純なブレード付きベクトル空間上のニコルズ代数のボソン化において、明示的な関係およびコプロダクト構造はどのように生じるか？
• RQ5 得られたホップ代数は互いに同型でなく、与えられた制約下で、H 上のすべてのこのような有限次元ホップ代数を尽くしているか？

主な発見

• この論文は、チェバリュの性質を満たさない次元16の非チェバリュのホップ代数 H から生じる、次元128の有限次元ホップ代数の8つの新しいクラスを構成している。
• これらのホップ代数は、{}^H_H\mathcal{YD} 内の単純な無限小のブレード構造 V に対するリフトとして分類されており、特に V が V_{i,j,k,ι} に同型で、(i,j,k,ι) ∈ Λ^5 ∪ Λ^6 の場合に該当する。
• 各 V に対して、パラメータに応じて、結果のホップ代数は Λ^5(μ) または Λ^6(μ) に同型であり、生成子 a, b, c, d, x, y 間の明示的な関係が与えられる。
• 関係には a^4 = 1, d^4 = 1, b^2 = c^2 = 0, a^2 d^2 = 1, ad = da, bc = cb = 0 が含まれ、ξ および λ_i パラメータを含む非自明なブレード付き交換関係も含まれる。
• コプロダクトは明示的に計算されており、Δ(x) や Δ(y) は da^{j-1} ⊗ x や a^j ⊗ y などの項を含み、Δ(x^4) = x^4 ⊗ 1 + 1 ⊗ x^4 という条件により、代数内で x^4 = 0 が強制される。
• 得られたホップ代数は、それらの無限小のブレード構造が H 上のイータ・ドリンフェルトモジュールとして互いに同型でないため、互いに同型でない。