[論文レビュー] Einstein relation and linear response in one-dimensional Mott variable-range hopping

Alessandra Faggionato, Nina Gantert+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2017

Random Matrices and Applications参考文献 34被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、バイアス付き1次元モット可変範囲ホッピングにおける線形応答およびアインシュタイン関係を確立し、粒子から見た環境の定常分布がゼロバイアスにおいて微分可能であることを証明する。平衡測度に対するバイアス付き定常状態のラドン＝ニコディム微分に、$L^p$-バウンド（$p>2$）を用いることで、摂動理論や再生時間に依存せずに線形応答およびアインシュタイン関係を導出する。これは不規則輸送系に対する新しい解析的枠組みを提供する。

ABSTRACT

We consider one-dimensional Mott variable-range hopping with a bias, and prove the linear response as well as the Einstein relation, under an assumption on the exponential moments of the distances between neighboring points. In a previous paper \cite{FGS} we gave conditions on ballisticity, and proved that in the ballistic case the environment viewed from the particle approaches, for almost any initial environment, a given steady state which is absolutely continuous with respect to the original law of the environment. Here, we show that this bias--dependent steady state has a derivative at zero in terms of the bias (linear response), and use this result to get the Einstein relation. Our approach is new: instead of using e.g. perturbation theory or regeneration times, we show that the Radon-Nikodym derivative of the bias--dependent steady state with respect to the equilibrium state in the unbiased case satisfies an $L^p$-bound, $p>2$, uniformly for small bias. This $L^p$-bound yields, by a general argument not involving our specific model, the statement about the linear response.

研究の動機と目的

• バイアス付き1次元モット可変範囲ホッピングにおける線形応答およびアインシュタイン関係を確立すること。
• 粒子から見た環境のバイアス依存定常状態がゼロバイアスにおいて微分可能であることを示すこと。
• 平衡測度に対するバイアス付き定常状態のラドン＝ニコディム微分に、$L^p$-バウンド（$p>2$）を用いた新しい解析的手法を開発すること。
• 従来の手法（例えば摂動理論や再生時間）を避け、不規則系に対して一般的かつ強固な枠組みを提供すること。

提案手法

• アンバイアス状態における平衡状態に対するバイアス依存定常状態のラドン＝ニコディム微分に、$L^p$-バウンド（$p>2$）を導出すること。
• $L^p$-バウンドを用いて、特定のモデルに依存しない一般的議論により線形応答を導出すること。
• 環境測度と粒子の位置を関連付けるカップリング議論を用い、不純物間の距離のモーメント条件を活用すること。
• ホルダーの不等式と指数モーメント仮定を用いて、環境のジャンプレートの尾部挙動を制御すること。
• $L^2$-空間における弱収束とカクタニの定理を用いて、定常状態密度が平衡測度に収束することを証明すること。
• 小さなバイアスに対して一様に成り立つ$L^p$-バウンドを保証するため、環境の必要十分なモーメント条件（例えば、${\mathbb{E}}[e^{pZ_0}] < \infty$）を確認すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元モット可変範囲ホッピングにおいて、粒子から見た環境の定常分布はゼロバイアスにおいて微分可能か？
• RQ2 摂動理論や再生時間を用いずに、小さなバイアスに対する系の線形応答を厳密に導出できるか？
• RQ3 与えられたモーメント仮定のもとで、この不規則で長距離ホッピングを伴うモデルにおいてアインシュタイン関係は成立するか？
• RQ4 線形応答を確立するために、ラドン＝ニコディム微分の$L^p$-バウンドが果たす役割は何か？
• RQ5 不純物間の距離に課された指数モーメント条件は、線形応答およびアインシュタイン関係の有効性にどのように影響するか？

主な発見

• 粒子から見た環境のバイアス依存定常状態はゼロバイアスにおいて微分可能であり、線形応答性が確認された。
• 平衡測度に対するバイアス付き定常状態のラドン＝ニコディム微分は、$p>2$ に対して一様に $L^p$-バウンドを満たす。
• この $L^p$-バウンドは、特定のダイナミクスに依存しない一般的議論により線形応答を示唆する。
• 仮定 $\mathbb{E}[e^{(\lambda_0+4\delta)Z_{-1}+3\delta Z_0}] < \infty$ および $\mathbb{E}[e^{pZ_0}] < \infty$ のもとで、1次元モット可変範囲ホッピングモデルにおいてアインシュタイン関係が成立する。
• 従来の手法（再生時間や摂動理論）を避けることで、不規則系における線形応答への新しい道筋を提供する。
• 与えられたモーメント条件のもとで結果は頑健であり、粒子の運動に伴う環境測度の収束を保証する。