[論文レビュー] Einstein-Weyl structures on complex manifolds and conformal version of Monge-Ampere equation

Liviu Ornea, Misha Verbitsky|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、体積形式とリー類によって一意に定まること、およびその構造がホロモーフィック自己同型に関して一意であることを示す。これは、ケーラー幾何におけるCalabiの定理を局所的にケーラー的である幾何へ一般化する。また、複素Monge-Ampère方程式の共形的類似を導入し、その解の一意性を示している。

ABSTRACT

A Hermitian Einstein-Weyl manifold is a complex manifold admitting a Ricci-flat Kaehler covering W, with the deck transform acting on W by homotheties. If compact, it admits a canonical Vaisman metric, due to Gauduchon. We show that a Hermitian Einstein-Weyl structure on a compact complex manifold is determined by its volume form. This result is a conformal analogue of Calabi's theorem stating the uniqueness of Kaehler metrics with a given volume form in a given Kaehler class. We prove that a solution of a conformal version of complex Monge-Ampere equation is unique. We conjecture that a Hermitian Einstein-Weyl structure on a compact complex manifold is unique, up to a holomorphic automorphism, and compare this conjecture to Bando-Mabuchi theorem.

研究の動機と目的

• コンパクト複素多様体上のヘルミートEinstein-Weyl構造の一意性を、ケーラー-Einstein計量におけるCalabiの一意性結果に類似して確立すること。
• 局所的にケーラー的（LCK）多様体上での共形版複素Monge-Ampère方程式の解の一意性を定式化し、証明すること。
• Einstein-Weyl幾何の文脈において、Bando-Mabuchi定理の共形的類似を調査すること。
• 多様体のケーラー被覆を用いて、Einstein-Weyl構造、Vaisman多様体、およびSasakian幾何との関係を明らかにすること。
• コンパクト複素多様体上のEinstein-Weyl構造がホロモーフィック自己同型に関して一意であるという予想を提示し、ケーラー-Einsteinの一意性結果を一般化すること。

提案手法

• ヘルミートEinstein-Weyl多様体を、デッキ変換がホロモーフィックスケーリングによって作用するリッチ平坦ケーラー被覆を持つ複素多様体として定義する。
• コンパクトLCK多様体上の計量の共形類における標準的代表元として、Gauduchon計量を用いる。
• 固定されたリー類のもとで、体積形式を所与とするGauduchon計量の特定を、共形Monge-Ampère方程式として定式化する。
• コhomオロジー的議論と重みバンドル $L_{\mathbb{C}}$ の性質を用いて、この共形Monge-Ampère方程式の解の一意性を証明する。
• ケーラー被覆上での canonical bundle との関係を通じて、Einstein-Weyl条件を同定する。
• 被覆空間上での横断的Monge-Ampère方程式を解析し、条件 $\widetilde{\omega}_1^n = \lambda \widetilde{\omega}_2^n$ が $\varepsilon = 1$ の共形版Aubin-Calabi-Yau方程式に帰着されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された体積形式とリー類に対して、コンパクトVaisman多様体上での共形Monge-Ampère方程式の解は一意か？
• RQ2 コンパクト複素多様体上のEinstein-Weyl構造が、ホロモーフィック自己同型に関して一意に定まるかどうかを、ケーラー幾何におけるBando-Mabuchi定理に類似して確立できるか？
• RQ3 Einstein-Weyl構造の文脈において、ケーラー被覆の標準的バンドルと重みバンドルの関係は何か？
• RQ4 Calabi-Yau定理は、局所的にケーラー的多様体の共形設定へどの程度一般化可能か？
• RQ5 Einstein-Weyl構造と、関連するFano基底上のケーラー-Einstein計量との間の明確な関係は何か？

主な発見

• コンパクト複素多様体上のヘルミートEinstein-Weyl構造は、体積形式とリー類によって一意に定まる。これは、Calabiの一意性定理を共形設定へ一般化したものである。
• 固定されたリー類と体積形式のもとで、コンパクトVaisman多様体上での共形Monge-Ampère方程式の解は一意である。
• ヘリミートEinstein-Weyl多様体のケーラー被覆 $\widetilde{M}$ はリッチ平坦であり、モノドロミー作用に関して等変な消えないホロモーフィック体積形式を持つ。
• Einstein-Weyl LCK多様体に対して、等長 $L_{\mathbb{C}}^{n} \cong K^{-1}$ が成り立つ。ここで $L_{\mathbb{C}}$ は複素化された重みバンドル、$K$ は標準バンドルである。
• 被覆空間上でのEinstein-Weyl条件は、形式 $\log\left(\frac{\det(\eta - dd^c\psi)}{\det\eta}\right) = \psi + \text{const}$ の横断的Monge-Ampère方程式に帰着され、$\varepsilon = 1$ の場合、Aubin-Calabi-Yau方程式の共形的類似である。
• Einstein-Weyl構造がホロモーフィック自己同型に関して一意であるという予想は、特定の多様体上でのEinstein-Weyl構造とFano多様体上のケーラー-Einstein計量との対応を構成することで、Bando-Mabuchi定理を含意することが示された。