[論文レビュー] Ekedahl-Oort strata and Kottwitz-Rapoport strata

Ulrich Goertz, Maarten Hoeve|ArXiv.org|Aug 19, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、正標数におけるアーベル簇のモジュライ空間において、Edekahl-Oort層とKottwitz-Rapoport層の間の深い幾何的対応を確立する。すべてのEdekahl-Oort層がパラホリックKottwitz-Rapoport層に同型であることを証明し、自然な射影のもとでDeligne-Lusztig多様体への同型が整合することを示し、2つの別々の超特異部分集合の記述を統合する。

ABSTRACT

We study the moduli space A_g of g-dimensional principally polarized abelian varieties in positive characteristic, and its variant A_I with Iwahori level structure. Both supersingular Ekedahl-Oort strata and supersingular Kottwitz-Rapoport strata are isomorphic to disjoint unions of Deligne-Lusztig varieties (see [Hoeve 2008] and [Goertz, Yu 2008], resp.). Here we compare these isomorphisms. We also give an explicit description of Kottwitz-Rapoport strata contained in the supersingular locus in the general parahoric case. Finally, we show that every Ekedahl-Oort stratum is isomorphic to a parahoric Kottwitz-Rapoport stratum.

研究の動機と目的

• 有限体上のアーベル簇のモジュライ空間における超特異Edekahl-Oort層とKottwitz-Rapoport層の幾何的構造を比較すること。
• 2つの既知の超特異層の記述（Deligne-Lusztig多様体の和集合としての記述）の関係を明確化すること。
• 一般のパラホリックレベル構造の場合に、超特異部分集合におけるKottwitz-Rapoport層の記述を拡張すること。
• すべてのEdekahl-Oort層がパラホリックKottwitz-Rapoport層として実現可能であることを示し、2つの層構造を統合すること。

提案手法

• 主に極小化されたアーベル簇のモジュライ空間 $\mathcal{A}_g$ 及びそのパラホリックレベル構造をもつ変種 $\mathcal{A}_J$ を用いる。
• 超特異部分集合におけるEdekahl-Oort層およびKottwitz-Rapoport層の記述に、Deligne-Lusztig多様体の理論を適用する。
• 自然な写像 $\pi_J: \mathcal{A}_J \to \mathcal{A}_g$ を構成し、特定のKR層への制限がEO層への同型を与えることを示す。
• Dieudonnéモジュール上の $V$-作用の相対的位置を用いて、Weyl群の元による層の特徴付けを行う。
• アフィンWeyl群における可容集合と二重コセットの理論を用いて、$\mathcal{A}_y$ の $\pi$ による像を分析する。
• アーベル多様体 $A[p]$ に沿った標準的層の分解を用いて、KR層を定義するフラッグ構造をEdekahl-Oort層と特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自然な射影 $\pi$ の下で、超特異Edekahl-Oort層およびKottwitz-Rapoport層のDeligne-Lusztig記述はどのように関係しているか？
• RQ2 どのKottwitz-Rapoport層が超特異部分集合に含まれており、その幾何的構造は何か？
• RQ3 すべてのEdekahl-Oort層がパラホリックモジュライ空間におけるKottwitz-Rapoport層として実現可能か？
• RQ4 Kottwitz-Rapoport層が超特異部分集合に含まれる正確な条件は何か？
• RQ5 KR層 $\mathcal{A}_y$ の $\pi$ による像はEdekahl-Oort層とどのように関係しているか？

主な発見

• 自然な射影 $\pi_J: \mathcal{A}_J \to \mathcal{A}_g$ を通じて、すべてのEdekahl-Oort層 $\mathrm{EO}_w$ はパラホリックKottwitz-Rapoport層 $\mathcal{A}_{J,\overline{w\tau}}$ に同型である。
• 同型は、各点にその標準的層 $\mathcal{F}_\bullet^{\rm can}$ を割り当てることで実現され、これにより対応するKR層が定義される。
• 定理3.4で示されるように、写像 $\mathcal{A}_{I,w\tau} \to \mathrm{EO}_w$ の下で、超特異KR層およびEO層のDeligne-Lusztig多様体への和集合としての記述は整合する。
• Kottwitz-Rapoport層が超特異部分集合に含まれるのは、それが超特異的であるときであり、その場合、それは互いに交わらないDeligne-Lusztig多様体の直和に同型である。
• $w$ が最終的で、$J$ が標準的層の型であるとき、写像 $\pi_J$ は $\mathcal{A}_{J,\overline{w\tau}} \to \mathrm{EO}_w$ に制限され、逆写像は標準的層をとることで与えられる。
• 任意の $y$ に対して $y \in W_J w\tau W_J \cap \mathrm{Adm}(\mu)$ ならば、$\mathcal{A}_y$ の $\pi$ による像は $\mathrm{EO}_w$ に一致する。これは、すべてのこのような $y$ が同じEO層に写ることを示している。