[論文レビュー] Electronic Structure in a Fixed Basis is QMA-complete

Bryan O’Gorman, Sandy Irani+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、固定された単粒子基底における電子構造ハミルトニアンの基底状態エネルギーを計算することが、固定された電子数でさえもQMA完全であることを証明している。著者らは、フェルミ＝ハッブルモデルを通じて反強磁性ヘイゼンベルグハミルトニアンに還元し、物理的に現実的な制約のもとでも計算が困難であることを示した。さらに、この設定においてハートリー＝フォックエネルギー推定がNP完全であることも確立した。

ABSTRACT

Finding the ground state energy of electrons subject to an external electric field is a fundamental problem in computational chemistry. We prove that this electronic-structure problem, when restricted to a fixed single-particle basis and fixed number of electrons, is QMA-complete. Schuch and Verstraete have shown hardness for the electronic-structure problem with an additional site-specific external magnetic field, but without the restriction to a fixed basis. In their reduction, a local Hamiltonian on qubits is encoded in the site-specific magnetic field. In our reduction, the local Hamiltonian is encoded in the choice of spatial orbitals used to discretize the electronic-structure Hamiltonian. As a step in their proof, Schuch and Verstraete show a reduction from the antiferromagnetic Heisenberg Hamiltonian to the Fermi-Hubbard Hamiltonian. We combine this reduction with the fact that the antiferromagnetic Heisenberg Hamiltonian is QMA-hard to observe that the Fermi-Hubbard Hamiltonian on generic graphs is QMA-hard, even when all the hopping coefficients have the same sign. We then reduce from Fermi-Hubbard by showing that an instance of Fermi-Hubbard can be closely approximated by an instance of the Electronic-Structure Hamiltonian in a fixed basis. Finally, we show that estimating the energy of the lowest-energy Slater-determinant state (i.e., the Hartree-Fock state) is NP-complete for the Electronic-Structure Hamiltonian in a fixed basis.

研究の動機と目的

• 固定された単粒子基底と固定された電子数に制限された電子構造ハミルトニアンの基底状態エネルギーを近似する計算複雑性を特定すること。
• 以前の研究におけるギャップを埋めるために、サイト固有の磁場を必要としないQMA完全性の証明を示すこと。
• 固定された基底や一様な hopping の符号といった物理的に妥当な制約のもとでも、電子構造問題の本質的複雑性が継続することを示すこと。
• 量子シミュレーションの取り扱い可能と取り扱い不可能なインスタンスの境界を明確にし、計算の難易度を低下させない構造的性質を同定すること。
• 固定基底電子構造モデル内でのハートリー＝フォックエネルギー推定の複雑性を確立すること。

提案手法

• 既知のQMAハードである反強磁性ヘイゼンベルグハミルトニアンから、一般のグラフ上のフェルミ＝ハッブルハミルトニアンへの還元を行う。
• 反強磁性ヘイゼンベルグモデルからフェルミ＝ハッブルモデルへの既知の還元を用い、すべての hopping 係数が同じ符号を持つ場合でもQMAハード性が保たれることを示す。
• 局所的相互作用を空間軌道に符号化することで、フェルミ＝ハッブルハミルトニアンから固定基底における電子構造ハミルトニアンへの写像を構築する。
• ガウス型軌道と積分近似を用いて、ハッブルモデルの局所的相互作用項と hopping 項を、電子構造ハミルトニアンのクーロン項と運動エネルギー項に埋め込む。
• 変分原理と電子相関積分の境界を用いて、写像された系のエネルギー準位が所望の誤差許容範囲内で元のハッブルモデルを近似することを保証する。
• ハートリー＝フォックエネルギー問題を、変分空間を単一スレイター行列式に制限することで解析し、既知のNP完全な制約充足問題への還元によりNP完全性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された基底における電子構造問題は、電子数と軌道数が固定されていてもQMA完全であるか？
• RQ2 固定基底離散化のもとで、フェルミ＝ハッブルモデルのQMAハード性が電子構造ハミルトニアンに引き継がれるか？
• RQ3 電子構造モデルにのみ反発的クーロン相互作用と一様な hopping 符号が存在しても、依然として計算の難易度が生じるか？
• RQ4 固定基底電子構造モデルにおけるハートリー＝フォックエネルギーの計算の複雑性は何か？
• RQ5 磁場ではなく空間軌道における局所的ハミルトニアン符号化が、電子構造問題におけるQMA完全性を保持できるか？

主な発見

• 固定された単粒子基底と固定された電子数をもつ電子構造問題はQMA完全である。これは、QMA = BQPでない限り、この問題に対する効率的な量子アルゴリズムが存在しないことを示している。
• 反強磁性ヘイゼンベルグハミルトニアンからフェルミ＝ハッブルハミルトニアンへの還元は、すべての hopping 行列要素が同じ符号を持つ場合でもQMAハード性を保つ。
• 一般のグラフ上のフェルミ＝ハッブルハミルトニアンはQMAハードである。これは、物理的に妥当な条件下でも問題が依然として難しいことを示している。
• 固定基底における電子構造ハミルトニアンは、任意の精度でフェルミ＝ハッブルモデルをシミュレートでき、エネルギー準位が制御可能な誤差境界内で保持される。
• 固定基底における電子構造ハミルトニアンの最低エネルギーのハートリー＝フォック状態（すなわち最適な単一スレイター行列式）を求める問題はNP完全である。
• 著者らはクーロン積分の最大値とその負の寄与の境界を導出し、幾何的制約のもとでも写像が安定することを示した。$ u^{(\text{neg})}_{\text{max}} \leq 2\beta^3 / \Gamma $ が $ \alpha\Gamma^2 \geq 64 $ のとき成り立つ。