[論文レビュー] QMA-hardness of Consistency of Local Density Matrices with Applications to Quantum Zero-Knowledge

Anne Broadbent, Alex B. Grilo|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2019

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ひとこと要約

この論文は、長年の予想である、局所密度行列の整合性（CLDM）問題がカープ還元のもとでQMA-hardであることを証明し、量子計算複雑性理論における基礎的結果を確立した。本稿ではQMAの局所的にシミュレート可能な証明を導入し、QMA全体に対する初めての量子コミット・アンド・オープンゼロ知識証明系を構築した。また、秘密パラメータモデルにおける非インタラクティブゼロ知識プロトコルを示し、量子ゼロ知識暗号の発展に貢献した。

ABSTRACT

We provide several advances to the understanding of the class of Quantum Merlin-Arthur proof systems (QMA), the quantum analogue of NP. Our central contribution is proving a longstanding conjecture that the Consistency of Local Density Matrices (CLDM) problem is QMA-hard under Karp reductions. The input of CLDM consists of local reduced density matrices on sets of at most k qubits, and the problem asks if there is an n-qubit global quantum state that is consistent with all of the k-qubit local density matrices. The containment of this problem in QMA and the QMA-hardness under Turing reductions were proved by Liu [APPROX-RANDOM 2006]. Liu also conjectured that CLDM is QMA-hard under Karp reductions, which is desirable for applications, and we finally prove this conjecture. We establish this result using the techniques of simulatable codes of Grilo, Slofstra, and Yuen [FOCS 2019], simplifying their proofs and tailoring them to the context of QMA. In order to develop applications of CLDM, we propose a framework that we call locally simulatable proofs for QMA: this provides QMA proofs that can be efficiently verified by probing only k qubits and, furthermore, the reduced density matrix of any k-qubit subsystem of an accepting witness can be computed in polynomial time, independently of the witness. Within this framework, we show advances in quantum zero-knowledge. We show the first commit-and-open computational zero-knowledge proof system for all of QMA, as a quantum analogue of a "sigma" protocol. We then define a Proof of Quantum Knowledge, which guarantees that a prover is effectively in possession of a quantum witness in an interactive proof, and show that our zero-knowledge proof system satisfies this definition. Finally, we show that our proof system can be used to establish that QMA has a quantum non-interactive zero-knowledge proof system in the secret parameter setting.

研究の動機と目的

• 局所密度行列の整合性（CLDM）問題が、リチャード・リウ（2006）が提起したように、カープ還元のもとでQMA-hardであるという長年の予想を解決すること。
• 任意のkキュービット部分系の還元密度行列が多項式時間で計算可能であるような、QMAの局所的にシミュレート可能な証明の枠組みを構築すること。
• QMA全体に対する、初めての量子コミット・アンド・オープン計算ゼロ知識証明系を構築すること。これは古典的σプロトコルに類似している。
• 提案されたゼロ知識プロトコルに対して、量子知識の証明（Proof of Quantum Knowledge）を定義し、証明すること。
• 秘密パラメータモデルにおけるQMAの非インタラクティブゼロ知識（NIZK）証明系を確立すること。

提案手法

• シミュレータブルコードの技術を用いて、Grilo, Slofstra, Yuen（FOCS 2019）の結果を簡略化・適応し、CLDMのカープ還元によるQMA-hard性を証明する。
• 局所的にシミュレート可能な証明の概念を導入する：受理証明の任意のkキュービット還元密度行列が、完全な証明を知らないままに効率的に計算可能であるQMA証明。
• 1回限りのパッドによるシミュレータブルな量子証明のパラメータ化に基づくΞプロトコルを構築し、ランダム部分集合による検証を実行する。
• 量子誤り訂正符号（QECC）と秘密分散を用いて、履歴状態をシミュレートし、妥当性およびゼロ知識性を保証する。
• 信頼できる第三者が1回限りのパッド鍵およびランダム部分集合を生成・配布することで、プロトコルを非インタラクティブな設定に適応する。
• トレース距離の部分加法性およびユニタリ不変性を活用して、シミュレータの出力が実際のプロトコルの観測とトレース距離で近接することを示し、統計的ゼロ知識性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リチャード・リウ（2006）が提起したように、局所密度行列の整合性（CLDM）問題はカープ還元のもとでQMA-hardであるか？
• RQ2 QMA全体に対して、古典的σプロトコル（コミット・アンド・オープン）の量子版を構築できるか？
• RQ3 量子ゼロ知識証明系に対して、量子知識の証明（Proof of Quantum Knowledge）を確立できるか？
• RQ4 QMAは秘密パラメータモデルにおいて非インタラクティブゼロ知識証明系を備えているか？
• RQ5 局所的にシミュレート可能な証明を用いて、効率的かつゼロ知識的かつ妥当性を満たす量子インタラクティブ証明系を構築できるか？

主な発見

• CLDM問題がカープ還元のもとでQMA-hardであることが証明され、長年の予想が解決された。
• 任意のkキュービット還元密度行列が効率的に計算可能な、局所的にシミュレート可能な証明の新フレームワークが導入された。
• QMA全体に対する、初めての量子コミット・アンド・オープンゼロ知識証明系が構築された。完全性は1 − negl(|x|)、妥当性は1 − (1−δ)/nkである。
• 提案されたゼロ知識プロトコルは、量子知識の証明の定義を満たしており、プローバーが有効な量子証明を所有している必要があることを保証する。
• 秘密パラメータモデルにおいて、QMAの非インタラクティブゼロ知識（QNIZK）プロトコルが達成された。統計的ゼロ知識性を満たし、妥当性誤差は1 − (1−δ)/nkで抑えられる。
• このフレームワークはQAMへも拡張可能であり、QAMに対しても、同様の妥当性およびゼロ知識保証を備えたQNIZKプロトコルが存在することが示された。