[論文レビュー] Elliptic Gromov - Witten invariants and the generalized mirror conjecture

Alexander Givental|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 68

ひとこと要約

本稿は、固定点が孤立するコンパクトなカーラー多様体および凸でないバンドル空間上で、トーラス作用が付加されたゲーミング・ウィッテン不変量のジェノス1 Gromov-Witten不変量と半単純フォーブルス構造、複素オシレーティング積分との間の一般化されたミラー予想を定式化し、証明する。主な貢献は、オシレーティング積分と量子コhomologyを通じて、楕円的不変量と特異性理論のデータの間の明確な対応関係を確立することであり、これはジェノス0ミラー定理をジェノス1に拡張するものである。

ABSTRACT

A conjecture expressing genus 1 Gromov-Witten invariants in mirror-theoretic terms of semi-simple Frobenius structures and complex oscillating integrals is formulated. The proof of the conjecture is given for torus-equivariant Gromov - Witten invariants of compact Kähler manifolds with isolated fixed points and for concave bundle spaces over such manifolds. Several results on genus 0 Gromov - Witten theory include: a non-linear Serre duality theorem, its application to the genus 0 mirror conjecture, a mirror theorem for concave bundle spaces over toric manifolds generalizing a recent result of B. Lian, K. Liu and S.-T. Yau. We also establish a correspondence (see the extensive footnote in section 4) between their new proof of the genus 0 mirror conjecture for quintic 3-folds and our proof of the same conjecture given two years ago.

研究の動機と目的

• フォーブルス多様体と特異性理論を用いて、ジェノス0からジェノス1のGromov-Witten不変量へのミラーマッピングの拡張を図ること。
• 半単純フォーブルス構造の文脈において、楕円的Gromov-Witten不変量と複素オシレーティング積分との間の対応関係を確立すること。
• トーリック多様体およびトーラス作用が付加されたコンパクトなカーラー多様体上の凸でないバンドル空間へ、ジェノス0ミラー定理を一般化すること。
• 量子コhomology、仮想基本クラス、局所化技術を統合する、高ジェノスGW理論における統一的枠組みを提供すること。

提案手法

• ジェノス1 Gromov-Witten不変量を生成関数Gの微分dGとして表現する予想を定式化し、dGは楕円曲線を数える形式的級数[a,t,...,t]/n! による不変量の系列で定義される。
• 1形式dGと特異性理論における消滅サイクル上での複素オシレーティング積分I = ∫Γ e^{fλ(z)/ħ} v(z,λ) dzとの間の対応関係を確立する。
• 固定点の分岐集合を用いて、トーラス作用が付加されたGromov-Witten理論に局所化技術を適用し、仮想基本クラスを計算する。
• 量子Lefschetz原理と非線形セール双対性を用いて、バンドル空間のGW不変量と基底多様体のGW不変量との関係を導出する。
• 超幾何級数I(q,ħ)e^{(t0+p log q)/ħ}の漸近展開を用いて、ジェノス1ミラーマップを導出し、GWポテンシャルをφ(q)で割ったI/φ(q)として表現し、ħ⁻¹項によって定まる変数変換を特定する。
• 量子カップ積のスペクトル多様体L ⊂ T*Hと、特異性理論における臨界値およびヘッセ行列との関係に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フォーブルス構造とオシレーティング積分を用いて、ミラー理論的表現においてジェノス1 Gromov-Witten不変量をどのように表現できるか？
• RQ2 楕円的GW不変量と臨界値、オシレーティング積分などの特異性理論的データとの間の明確な対応関係は何か？
• RQ3 トーリック多様体および凸でないバンドル空間に対して、ジェノス0ミラー予想をジェノス1にどのように拡張できるか？
• RQ4 完全交差の仮想基本クラスは、等化局所化と量子コhomologyを用いて表現可能か？

主な発見

• 固定点が孤立するトーラス作用が付加されたコンパクトなカーラー多様体およびそのような多様体上の凸でないバンドル空間に対して、ジェノス1 Gromov-Witten不変量の一般化されたミラー予想が証明された。
• 非線形セール双対性の定理が確立され、これはトーリック多様体上の凸でないバンドル空間に対してジェノス0ミラー予想を示唆する。
• ジェノス0ミラー定理が凸でないバンドル空間へ一般化され、Lian-Liu-Yauの結果を拡張した。
• Lian-Liu-Yauによる5次3次元多様体のジェノス0ミラー予想の新しい証明と、著者の以前の証明との間で、超幾何級数の漸近展開を一致させることで、対応関係が確立された。
• GWポテンシャルJ(q,ħ)e^{(t0+p log q)/ħ}が、φ(q)で割り、ħ⁻¹漸近展開によって定まる変数変換を施した超幾何級数I(q,ħ)e^{(t0+p log q)/ħ}から得られることを示した。
• トーリック多様体内の完全交差の仮想基本クラスは、等化局所化の極限として得られるとの仮説が提示され、凸バンドルを超える結果への道筋が示唆された。