[論文レビュー] Elliptic K3 surfaces with p^n-torsion sections

Hiroyuki Ito, Christian Liedtke|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正標数 $p$ における楕円的 K3 表面の $p^n$- torsion 截線を持つものについて分類し、$p^n \geq 3$ の場合、このような表面が存在するのは $p^n \leq 8$ のときに限ることを証明している。また、有理的楕円的表面からの Frobenius 拉出の同値性、無理的性、特異性の同値性を確立している。このクラスに対して Artin および Shioda の予想を検証し、形式的ブラーファンクトルの高さ、Artin 不変量、Mordell–Weil 群を明示的に計算している。

ABSTRACT

We classify elliptic K3 surfaces in characteristic $p$ with $p^n$-torsion sections. For $p^n\geq3$ we verify conjectures of Artin and Shioda, compute the heights of their formal Brauer groups, as well as Artin invariants and Mordell--Weil groups in the supersingular cases.

研究の動機と目的

• 正標数 $p$ における $p^n$- torsion 截線をもつ楕円的 K3 表面を分類すること。
• 正標数 $p$ において $p^n \geq 3$ の場合、楕円的 K3 表面の $p^n$- torsion 截線に対して Artin および Shioda の予想を検証すること。
• 特異的状況における形式的ブラーファンクトルの高さ、Artin 不変量、Mordell–Weil 群を計算すること。
• このようなファイブレーションが有理的楕円的表面からの Frobenius 拉出として生じる正確な条件を特定すること。

提案手法

• 通常の楕円的曲線に $p^n$- torsion 截線を持つものについて、Igusa のモジュライ函手および Igusa 曲線 $\mathrm{Ig}(p^n)^{\mathrm{ord}}$ を用いてパラメトライズする。
• L-S08 における極限点および特異的局所の Néron モデルに関する結果を応用し、ファイブレーションの構成と分類を行う。
• それぞれ $p=3$ および $p=2$ において $E_8^2$-および $E_8^4$-特異点の半普遍的変形を用いて K3 表面の族を構成する。
• $p$- torsion 截線による平行移動の作用を、野生的 $p$-巡回自己同型として解析し、悪いファイブレーションにおける固定点集合を計算する。
• Weierstrass 方程式の明示的表現と特異ファイブレーション型（例：$I_1^*, III_1, I_8, I_{16}$）を用い、関連する準同型写像 $\varphi$ の次数および分岐性をもとにファイブレーションを分類する。
• 形式的ブラーファンクトルの理論および Artin 不変量を用いて、通常的（$h=1$）および特異的（$h=\infty$）な場合を区別する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの $p^n$ に対して、正標数 $p$ における $p^n$- torsion 截線を持つ楕円的 K3 表面が存在するか？
• RQ2 K3 表面上の楕円的ファイブレーションが、有理的楕円的表面からの Frobenius 拉出として生じるのはいつか？
• RQ3 このようなファイブレーションにおいて、Artin 不変量および形式的ブラーファンクトルの高さは、特異ファイブレーションの配置とどのように関係するか？
• RQ4 これらのファイブレーションにおける Mordell–Weil 群の構造は何か？また、$p^n$ に応じてどのように変化するか？
• RQ5 正標数 $p$ において $p^n \geq 3$ の場合、Artin および Shioda の予想は、$p^n$- torsion 截線を持つ楕円的 K3 表面に対して成り立つか？

主な発見

• 正標数 $p$ において、$p^n$- torsion 截線を持つ楕円的 K3 表面は $p^n \leq 8$ のときのみ存在し、$p^n \geq 3$ の場合、$j$-不変量が定数でなければならない。
• $p^n \geq 3$ の場合、以下の4つは同値である：(1) ファイブレーションが有理的楕円的表面からの Frobenius 拉出である、(2) 表面が無理的である、(3) 表面が特異的である、(4) ファイブレーションにちょうど1つの加法的ファイブレーションがある。
• 形式的ブラーファンクトルの高さは、2つの加法的ファイブレーションがある場合に $1$（通常的）、ちょうど1つの加法的ファイブレーションがある場合に $\infty$（特異的）である。
• 特異的 K3 表面に $p^n$- torsion 截線を持つ場合、Artin 不変量 $\sigma_0$ は $\sigma_0 \leq \sigma_0(p^n)$ を満たし、$\sigma_0(8)=1$、$\sigma_0(7)=1$、$\sigma_0(5)=2$、$\sigma_0(4)=3$、$\sigma_0(3)=6$ が成り立つ。
• $p^n \geq 7$ の場合、ちょうど1つのこのような K3 表面が存在し、それは特異的である。$p^n \leq 5$ の場合、一般のこのような表面は通常的である。
• 明示的な Weierstrass 方程式および Mordell–Weil 群が計算され、一部の場合は $\mathrm{MW}(X)$ が $D_4^*(2) \oplus \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ に同型であり、極端な場合には自明である。