[論文レビュー] Iwasawa Main Conjecture for Supersingular Elliptic Curves

Xin Wan|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用数 28

ひとこと要約

本稿は、Beilinson-Flach要因の明示的相互法則を活用して、$a_p = 0$ である非正則な楕円曲線に対する $±$-メイン予想を、より取り扱いやすい Iwasawa-Greenberg メイン予想に還元することにより、それを証明する。この結果、解析的ランク 0 もしくは 1 の場合に、特異素数における BSD 公式の $p$-部が確立される。

ABSTRACT

In this paper we prove the $\pm$-main conjecture formulated by Kobayashi for elliptic curves with supersingular reduction at $p$ such that $a_p=0$, using a new idea of reducing it to another Iwasawa-Greenberg main conjecture, which is more accessible and proved here as a first step. Then we develop some generalized $\pm$ local theory and deduce the main conjecture. The argument uses in an essential way the recent study on explicit reciprocity law for Beilinson-Flach elements by Kings-Loeffler-Zerbes. We also prove as corollaries the $p$-part of the BSD formula at supersingular primes when the analytic rank is $0$ or $1$.

研究の動機と目的

• 解析的ランク 0 または 1 における特異素数 $p$ に対して、$a_p = 0$ である非正則な楕円曲線に対する $±$-メイン予想を証明すること。
• $±$-メイン予想をより取り扱いやすい Iwasawa-Greenberg メイン予想に還元すること。
• 証明枠組みに適した一般化された $±$-局所理論を構築すること。
• 解析的ランク 0 または 1 における特異素数において、BSD 公式の $p$-部を確立すること。

提案手法

• 新規な構造的議論を用いて、$±$-メイン予想を Iwasawa-Greenberg メイン予想に還元する。
• Kings, Loeffler, Zerbes の最近の研究から得られた Beilinson-Flach 要因の明示的相互法則を応用する。
• 非正則な場合に対応できるように、一般化された $±$-局所理論を構築する。
• 非臨界スロープ $p$-進 $L$-関数の文脈において、$p$-進 $L$-関数と Iwasawa 理論を用いる。
• Selmer 群を制御できるように、Beilinson-Flach 要因を用いて適切なオイラー系を構成する。
• 制御定理と $±$-構成との整合性を用いて、メイン予想を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解析的ランク 0 または 1 における特異素数において、$a_p = 0$ である非正則な楕円曲線に対する $±$-メイン予想を、より取り扱いやすい Iwasawa-Greenberg メイン予想に還元できるか？
• RQ2 Beilinson-Flach 要因の明示的相互法則を、非正則な設定でメイン予想を証明するためにどのように応用できるか？
• RQ3 非正則な場合にこの手法を拡張するために必要な一般化された $±$-局所理論とは何か？
• RQ4 $±$-メイン予想は、解析的ランク 0 または 1 における特異素数において、BSD の $p$-部を含意するか？
• RQ5 非正則な文脈において、$±$-メイン予想と Iwasawa-Greenberg メイン予想の正確な関係は何か？

主な発見

• 非正則な楕円曲線に対して $a_p = 0$ である場合、$±$-メイン予想は Iwasawa-Greenberg メイン予想に還元されることにより証明された。
• 証明は、Kings, Loeffler, Zerbes が確立した Beilinson-Flach 要因の明示的相互法則に強く依存している。
• 特異素数における非正則な場合に対応するため、一般化された $±$-局所理論が構築された。
• 解析的ランク 0 または 1 における特異素数において、BSD 公式の $p$-部が確認された。
• メイン予想は、指定された解析的ランクの状況において、BSD の $p$-部を含意しており、顕著な算術的応用を提供する。