[論文レビュー] Elliptic PDEs with distributional drift and backward SDEs driven by a c{\`a}dl{\`a}g martingale with random terminal time

Francesco Russo, Lukas Wurzer|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、分布的な流れを伴う一般化された半線形楕円型PDEのクラスを導入し、$C^1$一般化解の存在と一意性を確立する。これらのPDEは、確率的終端時刻を持つc{\'a}dl{\'a}g martingaleによって駆動される後向きSDEと関連づけられ、駆動martingaleに関する一般な条件下で一意性が証明される。

ABSTRACT

We introduce a generalized notion of semilinear elliptic partial differential equations where the corresponding second order partial differential operator $L$ has a generalized drift. We investigate existence and uniqueness of generalized solutions of class $C^1$. The generator $L$ is associated with a Markov process $X$ which is the solution of a stochastic differential equation with distributional drift. If the semilinear PDE admits boundary conditions, its solution is naturally associated with a backward stochastic differential equation (BSDE) with random terminal time, where the forward process is $X$. Since $X$ is a weak solution of the forward SDE, the BSDE appears naturally to be driven by a martingale. In the paper we also discuss the uniqueness of a BSDE with random terminal time when the driving process is a general c{a}dl{a}g martingale.

研究の動機と目的

• 分布的流れを含めるように半線形楕円型PDEを拡張し、許容可能な生成子のクラスを広げること。
• このようなPDEに対する$C^1$一般化解の存在と一意性を確立すること。
• 前向き過程が$X$である確率的終端時刻を持つ後向きSDEとPDE解を関連付けること。
• 駆動過程が一般のc{\'a}dl{\'a}g martingaleで、確率的終端時刻を持つ場合に、後向きSDEの解の一意性を調査すること。

提案手法

• SDEの弱解を用いて、分布的流れを伴う2次微分作用素$L$の一般化された概念を形式化する。
• 分布的流れを伴うSDEの弱解として、前向きマルコフ過程$X$を構築する。
• 前向き過程が$X$である確率的終端時刻を持つ関連する後向きSDEを定義する。
• マルティンゲール表現性を用いて、c{\'a}dl{\'a}g martingaleによって駆動されるBSDEを導出する。
• 関数解析的技法を用いて、PDEに対する$C^1$解の存在と一意性を証明する。
• c{\'a}dl{\'a}g martingale駆動子に関する一般な条件下で、BSDE解の一意性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分布的流れを伴う半線形楕円型PDEは、$C^1$一般化解を許容することができるか。その場合、どのような条件下でか？
• RQ2 このようなPDEの解は、自然に確率的終端時刻を持つ後向きSDEとどのように関連づけられるか？
• RQ3 c{\'a}dl{\'a}g martingaleによって駆動され、確率的終端時刻を持つ後向きSDEの解の一意性を保証する条件は何か？
• RQ4 分布的流れを伴う前向きSDEの弱解構造は、BSDEの定式化にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 本稿では、分布的流れを伴う半線形楕円型PDEに対する$C^1$一般化解の存在と一意性が確立された。
• PDEの解が、確率的終端時刻を持つ後向きSDEの解と等価であることが示された。
• 前向きSDEの弱解の性質により、BSDEはc{\'a}dl{\'a}g martingaleによって駆動される。
• c{\'a}dl{\'a}g martingale駆動子に関する一般な条件下で、BSDE解の一意性が証明された。