[論文レビュー] Embedded contact homology and open book decompositions

Vincent Colin, Paolo Ghiggini+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 39被引用数 25

ひとこと要約

この論文は、閉じた向き付け可能な接触3次元多様体 $M$ の埋め込み接触ホモロジー（ECH）と、$M$ 内の同調的ホモロジーがゼロである knot のチューブ型近傍の補集合上で定義された相対的 ECH の間の同値性を確立する。オルターブ分解とモース・ボット接続技術を用いて、$M$ の ECH 群が $N = M \setminus \text{int}(V)$ 上の相対的 ECH 群と同型であることを証明し、同型が $U$-写像とホモロジー類の分解を保存する。この結果は、ヘーゲン・フローリングホモロジーと ECH の間の同値性を示す基盤を提供する。

ABSTRACT

This is the first of a series of papers devoted to proving the equivalence of Heegaard Floer homology and embedded contact homology (abbreviated ECH). In this paper we prove that, given a closed, oriented, contact $3$-manifold, there is an equivalence between ECH of the closed $3$-manifold and a version of ECH, defined on the complement of the binding of an adapted open book decomposition. In the appendix we give a full proof of the Morse-Bott gluing result that we need in this article and in the subsequent ones of the series proving the isomorphism between Heegaard Floer homology and ECH. V.8: we fixed a mistake in the appendix and added Yuan Yao as a coauthor.

研究の動機と目的

• 閉じた接触3次元多様体 $M$ の埋め込み接触ホモロジー（ECH）と、$M$ 内の同調的ホモロジーがゼロである knot のチューブ型近傍の補集合 $N$ 上で定義された相対的 ECH 理論との間の対応を確立すること。
• この $N$ 上の相対的 ECH が、$M$ 上の絶対的 ECH と同型であることを証明し、両者における $U$-写像作用とホモロジー類の分解を保存すること。
• ヘーゲン・フローリングホモロジーと埋め込み接触ホモロジーの間の長年の予想である同値性を示すための基盤的ステップを提供すること。
• ECH における1段階のカスケードに対して、非正則性を扱うために不可欠な、モース・ボット接続定理を発展させ、厳密に証明すること。

提案手法

• 接触形式 $\alpha$ が内部では非退化で、境界では負のモース・ボットであるような、トーラス境界を持つ接触3次元多様体 $N$ に対して、相対的 ECH 理論 $ECH(N,\partial N,\alpha,A)$ と $\widehat{ECH}(N,\partial N,\alpha,A)$ を定義する。
• 相対的 ECH 複体に写像 $U$ を構成し、$\widehat{ECH}$ をこの写像の写像コーンとして定義する。
• 境界 $\partial N$ 上のリーブ軌道に正の端を持つ非自明な $J$-擬補間曲線が存在できないという位相的制約を用いる。これは負のモース・ボット条件によるものである。
• 境界上でのモース・ボット族のリーブ軌道から非退化な楕円型軌道への摂動スキームを適用し、擬補間曲線のモジュライ空間における正則性と接続性を可能にする。
• 1パラメータ族のほぼ複素構造に対して分岐法を用い、小刻みな摂動の下でも擬補間曲線の数が mod 2 で保存されることを保証する。
• 安定ハミルトニアン設定における1段階のカスケードに対するモース・ボット接続定理を証明し、適切な条件下で壊れた擬補間ビルディングが再び正則な曲線に接続できることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉じた接触3次元多様体 $M$ の埋め込み接触ホモロジーは、$M$ 内の同調的ホモロジーがゼロである knot のチューブ型近傍の補集合上での相対的 ECH 理論から完全に回復可能か？
• RQ2 $ECH(M)$ と $ECH(N,\partial N,\alpha)$ の間の同型は、両側の $U$-写像作用と整合的か？
• RQ3 誘導写像 $\varpi: H_1(N,\partial N) \to H_1(M)$ の下で、$N$ 上の相対的 ECH は $M$ 上の絶対的 ECH と一貫してホモロジー類に分解されるか？
• RQ4 特に境界上に退化したリーブ軌道がある状況下でも、モース・ボット接続技術を ECH の1段階のカスケードに厳密に適用可能か？
• RQ5 モース・ボットから非退化なリーブ軌道への摂動の際、ほぼ複素構造の小刻みな摂動の下でも、擬補間曲線の数（mod 2）は保存されるか？

主な発見

• すべての $A \in H_1(N,\partial N;\mathbb{Z})$ に対して、相対的 ECH 群 $ECH(N,\partial N,\alpha,A)$ と $\widehat{ECH}(N,\partial N,\alpha,A)$ は、それぞれ絶対的 ECH 群 $ECH(M,\xi,\varpi(A))$ と $\widehat{ECH}(M,\xi,\varpi(A))$ と同型である。
• 相対的 ECH と絶対的 ECH の間の同型は、両者における $U$-写像作用と整合的であり、ホモロジー理論の代数的構造を保存する。
• 証明は、安定ハミルトニアン設定における1段階のカスケードに対する新しいモース・ボット接続定理に依存しており、付録で厳密に確立されている。
• 指数1の擬補間曲線の数（mod 2）は、ほぼ複素構造の小刻みな摂動の下でも保存され、接続プロセスにおける不変性を保証する。
• 結果は $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 上で成り立ち、著者らは命題 4.5.5 と注記 9.9.5 を用いて、すべての結果が整数係数へ拡張可能であることを確認している。
• 同型はホモロジー類による自然な分解と整合的であり、knot が同調的ホモロジーがゼロであるという条件により、誘導写像 $\varpi: H_1(N,\partial N) \to H_1(M)$ が同型である。