[論文レビュー] Embedding of Coxeter groups in a product of trees

Alexander Dranishnikov, Viktor Schroeder|ArXiv.org|Feb 24, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、彩色数 $ n $ の直角コクセター群が、局所有限な木の積へ双リプシッツ埋め込みを許容することを確立している。Cayley図は、固定半径の球上で等長的に埋め込まれる。主な貢献は、彩色数に基づいた必要な木の数の鋭い推定であり、双曲空間への埋め込みおよび指数的分岐木の積における双曲的ランクの計算への応用を含む。

ABSTRACT

We prove that a right angled Coxeter group with chromatic number n can be embedded in a bilipschitz way into the product of n locally finite trees. We give applications of this result to various embedding problems and determine the hyperbolic rank of products of exponentially branching trees.

研究の動機と目的

• 右側コクセター群のCayley図を双リプシッツ的に埋め込むために必要な最小の木の数を特定すること。
• 定義図の彩色数と積内の木の因子数との間の関係を確立すること。
• 埋め込み結果を応用して、指数的分岐木の積の双曲的ランクを決定すること。
• 双曲空間 $ \mathbb{H}^n $ が $ n $ 個の木の積へ双リプシッツ埋め込み可能かどうかを調査すること。
• このような埋め込みが、木の有界次数で達成可能かどうかを検討すること（ただし未解決のまま）。

提案手法

• 右側コクセター群 $ \Gamma $ の生成集合 $ S $ の彩色数 $ n $ を、木の因子数を決定する主要パラメータとして用いる。
• Cayley図 $ C(\Gamma, S) $ を $ n $ 個の単体的木の $ l^1 $-積への $ \Gamma $-不変な等長埋め込みを構成する。
• 右側コクセター群の削除則と測地線構造を活用し、既約語による群元の標準ラベル付けを定義する。
• 生成元 $ s \in S $ に関連する鏡映進と半空間 $ H_s $ を定義し、鏡への距離の等高線を用いて木の積への写像を定義する。
• 局所的単射性の議論（命題 3.4）を適用し、半径 $ r $ の球上で写像が局所的に等長であることを保証する。さらに指数的分岐性を活用して、木の積を単一の指数的分岐木に埋め込む。
• Brady と Farb の結果を組み合わせ、$ \mathbb{H}^2 $ からの埋め込みを高次元の双曲空間 $ \mathbb{H}^n $ へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 彩色数 $ n $ の直角コクセター群のCayley図は、制御された歪みで $ n $ 個の木の積に埋め込み可能か？
• RQ2 右側コクセター群のCayley図を双リプシッツ的に埋め込むために必要な最小の木の数は何か？
• RQ3 指数的分岐木 $ n $ 個の積の双曲的ランクは $ n-1 $ に等しいか？また、これは群の埋め込みによって特定可能か？
• RQ4 $ \mathbb{H}^n $ は、局所有限な木の $ n $ 重積に双リプシッツ埋め込み可能か？また、これは群の彩色数とどのように関係するか？
• RQ5 $ \mathbb{H}^n $ は、単一の指数的分岐木の $ 2(n-1) $ 重積に双リプシッツ埋め込み可能か？

主な発見

• 彩色数 $ n $ の直角コクセター群は、$ n $ 個の単体的木の積へ $ \Gamma $-不変な等長埋め込みを許容する。
• Cayley図は、固定半径 $ r $ のすべての球上で等長となる、$ n $ 個の局所有限な木の積へ双リプシッツに埋め込まれる。
• 任意の指数的分岐木 $ T $ に対して、$ \mathbb{H}^2 $ が $ T \times T $ へ双リプシッツに埋め込まれる。これは、双曲的コクセター群のCayley図からの拡張である。
• $ \mathbb{H}^n $ に対しては、単一の指数的分岐木 $ T $ の $ 2(n-1) $ 重積へ双リプシッツ埋め込みが存在し、Brady–Farb の結果を合成することで得られる。
• 指数的分岐木 $ n $ 個の積の双曲的ランクは、正確に $ n-1 $ に等しく、Gromov-双曲的コクセター群の仮想コhomological次元 $ n $ を用いた埋め込みにより示された。
• 構成により、仮想コホモロジー次元 $ n $ のGromov-双曲的右側コクセター群 $ \Gamma_n $ が $ T^n $ へ双リプシッツに埋め込まれ、ランクの上限が確認された。