[論文レビュー] Embedding of hyperbolic Coxeter groups into products of binary trees and aperiodic tilings

Alexander Dranishnikov, Viktor Schroeder|ArXiv.org|Apr 28, 2005

Cellular Automata and Applications参考文献 15被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、有限生成で右角的かつ双曲的なコクセター群を、その彩色数を用いて二分木の積へ準等長埋め込みすることを確立する。主な結果は、このような群が彩色数 $ n $ に等しい数の二分木の積へ準等長埋め込み可能であり、その結果、強周期的で厳密にバランスの取れた極限タイルが得られるタイル張り詰めの構成が可能になることである。

ABSTRACT

We prove that a finitely generated, right-angled, hyperbolic Coxeter group can be quasiisometrically embedded into the product of n binary trees, where n is the chromatic number of the group. As application we obtain certain strongly aperiodic tilings of the Davis complex of these groups.

研究の動機と目的

• 有限生成で右角的かつ双曲的なコクセター群を二分木の積へ準等長埋め込みすることを確立すること。
• 必要な木の因子の数が群の彩色数に等しいことを示すこと。
• 埋め込み結果を応用し、強周期的で厳密にバランスの取れたタイルによるデイヴィス複体のタイル張り詰めを構成すること。
• 構成されたタイル張り詰めのすべての極限タイルが、再び強周期的であることを示すこと。
• この構成を一般化し、$ n \geq 2 $ に対して双曲空間 $ \mathbb{H}^n $ の凸で周期的でないタイル張り詰めを生成すること。

提案手法

• 右角的コクセター群の彩色数 $ n $ を、積空間内の二分木の因子の数として用いる。
• 群の構造とナーヴの彩色を用いて、$ \psi: C(\Gamma, S) \to T \times \cdots \times T $（$ n $ 回）の準等長埋め込みを構成する。
• 木上の単体的距離と積空間上の $ \ell^1 $-積度様を用い、大規模な幾何を保存する。
• 群のデイヴィス複体に埋め込みを適用し、タイルの幾何と方向性にマッチングルールを符号化したタイル張り詰めを生成する。
• 局所座標と色のペアを用いた頂点における局所変形により、厳密にバランスの取れた凸タイルを達成する。
• 面に重み関数を導入し、群の不変性と重みの和が消えないことを利用して、非バランスな幾何的実現における周期的ではない性質を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の有限生成で右角的かつ双曲的なコクセター群は、彩色数 $ n $ に等しい数の二分木の積へ、準等長埋め込み可能か？
• RQ2 このような埋め込みにより、強周期的で厳密にバランスの取れたタイルによるデイヴィス複体のタイル張り詰めが構成可能か？
• RQ3 タイル張り詰めを $ \mathbb{H}^2 $ で凸タイルが得られるように変更可能か？ その際、周期的でなくバランスを保つことができるか？
• RQ4 構成されたタイル張り詰めのすべての極限タイルが、再び強周期的か？
• RQ5 二つのメトリックツリーの積の双曲的ランクは何か？ そして、埋め込み結果とどう関係するか？

主な発見

• 彩色数 $ n $ を持つ有限生成で右角的かつ双曲的なコクセター群 $ \Gamma $ は、$ n $ 個の二分木の積へ準等長埋め込み可能である。
• 双曲平面上の $ \mathbb{H}^2 $ は、二つの二分木の積へ準等長埋め込み可能である。
• $ n $ に対して、虚コhomological次元 $ n $ を持つグロモフ双曲的群 $ \Gamma_n $ が存在し、$ n $ 個の二分木の積へ準等長埋め込み可能である。
• $ n $ 個のメトリックツリーの積の双曲的ランクは $ n-1 $ であり、$ n $ 個の自由群の積に対しても同様に成り立つ。
• 任意の右角的かつ双曲的なコクセター群のデイヴィス複体は、有限個のタイルを用いた強周期的タイル張り詰めを有し、すべての極限タイルも強周期的である。
• $ n \geq 3 $ に対して、有限個のタイル型を用いた、凸 $ 2n $-角形による厳密にバランスの取れた強周期的タイル張り詰めが $ \mathbb{H}^2 $ に存在し、その極限タイルも周期的でない。