[論文レビュー] Embedding vs. 6D twistors

Warren Siegel|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、4次元場の理論における共形対称性の実現に関して、埋め込み形式と6次元-twistor法を比較し、スピンおよび超対称性を取り扱う際に、スピンォ変数を介して共形不変性を符号化し、代数的制約を6次元-twistorを用いて解くことで、6次元-twistorがより自然な枠組みを提供することを示している。主な貢献は、4次元スピンォインデックスを用いた6次元超-twistorを介した、場の演算子の明示的な共形不変形式化であり、N=3超ヤン・ミルズ理論の明示的構成および、チャーラル、チャーラル解析的、実解析的超空間への一般化が含まれる。

ABSTRACT

We review the relation between the "embedding" formalism and spinorial projective space. The latter is more convenient when treating spin (and indispensable for supersymmetry), as it maintains manifest conformal symmetry while using 4-dimensional indices on fields/operators. It does this by solving all algebraic constraints using 6-dimensional (off-shell) twistors. In an added note we review the supersymmetric generalization, and give some new results for N=3.

研究の動機と目的

• 共形場理論における埋め込み形式とスピンォ的射影空間の関係を明確化すること。
• 6次元-twistorが、埋め込み形式と比較して、スピンおよび超対称性を取り扱う際により効率的かつ明示的な共形対称性を提供する枠組みを構築すること。
• twistor構成を超対称理論に一般化し、特にN=3に対して新しい結果を導出すること。また、チャーラルおよび解析的超空間における新規な結果を得ること。
• 4次元スピンォインデックスを有する場の演算子が、代数的制約を明示的に解くことなく、6次元超-twistorを用いて一貫して記述可能であることを示すこと。
• さまざまな超対称的設定において、twistor行列のスーパードイターミナントを用いて、共形不変量および相関関数を体系的に構成すること。

提案手法

• 時空およびスピンォ構造を符号化するため、グローバルSU(2,2|N)および局所GL(2|n,C)インデックスを有する長方形行列λおよび¯λとして6次元（超）twistorを用いる。
• 補償行列uおよび¯u、および異なる超対称的セクターに応じた行列w、˜w、˜¯wを用いたゲージ固定パラメトライゼーションにより、光円錐制約λ¯λ = 0を解く。
• 場の演算子Φをλおよび¯λの同次関数として構成し、明確な対称性および同次性を持つようにする。パラメトライゼーションを介して4次元スピンォテンソル場に還元される。
• 自由伝搬関数および適切なスケール重みを持つ多点相関関数を符号化するsuperdeterminant of λ′¯λから共形不変量を導出する。
• 3つのケースを区別する：チャーラル（n=0）、チャーラル解析的（n=(N−1)/2、Nが奇数）、実解析的（n=N/2、Nが偶数）。それぞれ異なるインデックス構造と演算子依存性を持つ。
• 形式主義をN=3超ヤン・ミルズ理論に適用し、ゲージ場の強度がチャーラル解析的超空間上に存在すること、およびプレポテンシャルが全超空間上に存在することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 6次元-twistor形式主義は、4次元場の理論におけるスピン自由度を取り扱う際、埋め込み形式と比較して、明示的な共形対称性をどのように保っているか？
• RQ2 6次元-twistorは、従来の4次元スピンォまたはベクトル形式と比較して、スピンおよび超対称性の取り扱いをどのように簡素化するか？
• RQ3 6次元-twistor枠組みにおいて、共形不変量および相関関数はどのように構成されるか？また、自由伝搬関数およびスケール重みとはどのような関係にあるか？
• RQ4 N=3の場合における、チャーラル、チャーラル解析的、実解析的超空間の正しいインデックス構造およびパラメトライゼーションは何か？
• RQ5 局所GL(2|n,C)ゲージ対称性は、異なる超対称的セクターにおける演算子および相関関数の形をどのように制約するか？

主な発見

• 6次元-twistor形式主義は、代数的制約を明示的に解く必要なく、4次元スピンォインデックスを用いた場の演算子の明示的な共形不変記述を提供する。
• 場の演算子は、λおよび¯λの同次関数として構成され、明確な対称性を持つ。パラメトライゼーションλ = u(I −x), ¯λ = (x I)¯uを介して4次元スピンォテンソル場に還元される。
• N=3の場合、超ヤン・ミルズのゲージ場の強度はチャーラル解析的超空間上に存在し、プレポテンシャルはより大きな全超空間上に存在する。これは既知の結果と整合的である。
• 共形不変量は、superdeterminant of λ′¯λから構成され、N=0,1,2,3,4超空間におけるスカラー場の強度の正しい自由伝搬関数を与える。
• チャーラルおよびチャーラル解析的ケースでは、演算子はそれぞれSL(2,C)またはSL(2|n,C)インデックスを有し、2点関数はˆx(µ.σ...ˆxν).τ / (ˆx²)˜δで与えられる。ここでˆx = x − x′ + θ¯θ′である。
• N≠0,4の場合、U(1)選択則が全（チャーラル＋反チャーラル）空間における相関関数を制限し、Rスピン対称性およびゲージ不変性の構造を反映している。