[論文レビュー] Embeddings of $3$--manifolds via open books

Dishant M. Pancholi, Suhas Pandit+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、任意の閉かつ向き付け可能な3次元多様体が、$S^3 \times S^2$ および $S^2\widetilde{\times}S^3$ の特定の開本分解に、$S^2$ 上のディスクバンドルをページとし、自明なモノドロミーを持つものへと開本埋め込み可能であることを確立する。この埋め込み技法を用いて、著者らは任意のこうした3次元多様体が $S^5$ に滑らかに埋め込まれることを、柔軟な曲面と開本構造を用いた新しい幾何的証明により再確認する。

ABSTRACT

In this note, we discuss embeddings of $3$--manifolds via open books. First we show that every open book of every closed orientable $3$--manifold admits an open book embedding in any open book decompistion of $S^2 imes S^3$ and $S^2 \widetilde{ imes} S^3$ with the page a disk bundle over $S^2$ and monodromy the identity. We then use open book embeddings to reprove that every closed orientable $3$--manifold embeds in $S^5.$

研究の動機と目的

• 任意の閉かつ向き付け可能な3次元多様体が、$S^3 \times S^2$ および $S^2\widetilde{\times}S^3$ の特定の開本分解への開本埋め込みを確立すること。
• 古典的な結果である任意の閉かつ向き付け可能な3次元多様体が $S^5$ に滑らかに埋め込まれることを、新しい幾何的証明で再確認すること。
• $S^2$ 上のディスクバンドルに自明なモノドロミーを持つ柔軟な曲面を用いて、開本埋め込みを構成できることを示すこと。
• そのような埋め込みが周囲の開本構造と整合しており、バインディングとページの分解を保つこと。
• 既知の埋め込み定理や構成法と関連付けることで、開本埋め込みの接触位相および滑らか位相における応用性を拡張すること。

提案手法

• 自明なモノドロミーを持つ $S^2$ 上のディスクバンドルに、1つの境界成分を持つ曲面を埋め込むことにより、開本埋め込みを構成する。
• $S^3 \times \{1/2\}$ 内のホフ・アンナラス構成を用いて、ディスクバンドル $\mathcal{D}E(1)$ のゼロ切断から離れた柔軟な曲面を埋め込む。
• 曲面とホフ・アンナラスをアーマント接続和することで、$\mathcal{D}E(1)$ 内に適切に埋め込まれた柔軟な曲面を生成する。
• このような柔軟な曲面が、そのマッピングクラス群の生成子をホフ・アンナラスを介して実現するホモトピーを備えているという事実を活用する。
• モノドロミー写像のマッピングトーラスを、$\mathcal{D}E(1)$ のゼロ切断の補集合と微分同相である $S^1 \times S^3 \times (0,1]$ に埋め込む。
• 境界同士を同一写像で貼り合わせることで、$S^1 \times S^3 \times (0,1]$ を $S^3 \times D^2$ に接続し、$S^3 \times D^2$ を得る。これにより、$S^5$ 内での完全な埋め込みが実現される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の閉かつ向き付け可能な3次元多様体は、$S^3 \times S^2$ や $S^2\widetilde{\times}S^3$ に、ディスクバンドルをページとし、自明なモノドロミーを持つ開本分解へと開本埋め込み可能か？
• RQ2 $S^2$ 上のディスクバンドル内に存在する柔軟な曲面の存在は、任意の3次元多様体の開本埋め込みを可能にするか？
• RQ3 開本埋め込みを用いて、任意の閉かつ向き付け可能な3次元多様体が $S^5$ に滑らかに埋め込まれるという古典的結果を再証明可能か？
• RQ4 4次元多様体に埋め込まれた曲面が柔軟であるための位相的条件は何か？ そして、そのような曲面は開本埋め込みを支援できるか？
• RQ5 $S^3 \times S^2$ および $S^2\widetilde{\times}S^3$ の開本埋め込み構造において、ディスクバンドルのオイラー数（偶数または奇数）の選択がどのように影響を与えるか？

主な発見

• 任意の閉かつ向き付け可能な3次元多様体が、開本分解を持つ場合、$S^3 \times S^2$ の任意の開本分解（ページが $S^2$ 上のディスクバンドルで、モノドロミーが自明な場合）への開本埋め込みが可能である。
• ページが $S^2$ 上のオイラー数が奇数のディスクバンドルで、モノドロミーが恒等写像である場合、$S^2\widetilde{\times}S^3$ の同様の結果が成り立つ。
• この構成は、自明なモノドロミーを持つ $\mathcal{D}E(1)$（$S^2$ 上のディスクバンドル）に、1つの境界成分を持つ柔軟な曲面を埋め込むことに依存する。
• モノドロミー写像のマッピングトーラスは、$\mathcal{D}E(1)$ のゼロ切断の補集合と微分同相である $S^1 \times S^3 \times (0,1]$ に適切に埋め込まれる。
• 境界を同一写像で貼り合わせることで、$S^1 \times S^3 \times (0,1]$ を $S^3 \times D^2$ に接続すると、結果として得られる多様体は $S^3 \times D^2$ と微分同相であり、したがって完全な3次元多様体が $S^5$ に埋め込まれる。
• 本証明は、以前のブレード埋め込みやホイットニーの浸漬み技術を用いた証明とは異なる、新しい幾何的かつ位相的構成法により、任意の閉かつ向き付け可能な3次元多様体が $S^5$ に埋め込まれることを提供する。