[論文レビュー] Embeddings of $\mathbb{Q}$ into Some Finitely Presented Groups.

James Belk, James Hyde+1 more|arXiv (Cornell University)|May 5, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 33被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、特定の形でトマソン群 $T$ の上への持ち上げとして得られる明示的で有限表示可能な群——つまり、有理数の加法群 $\bbQ$ を含む群——を構成し、$\bbQ$ に対するヒグマン埋め込み定理を実現する。さらに、円の位相的同相写像からなる二生成で型 $\rF_\by$ の単純群 $T\rs A$ を導入し、$\bbQ$ を埋め込むことで、$\bbQ$ に対するブーン＝ヒグマンの定理を明示的に実現する。

ABSTRACT

We observe that the lift of Thompson's group $T$ to the real line is finitely presented and contains the additive group $\mathbb{Q}$ of the rational numbers. This gives an explicit realization of the Higman embedding theorem for $\mathbb{Q}$, answering a Kourovka notebook question of Martin Bridson and Pierre de la Harpe. We also prove that $\mathbb{Q}$ can be embedded into a finitely presented simple group, explicitly realizing the Boone-Higman theorem for $\mathbb{Q}$. Specifically, we describe a simple group $T\!\hspace{0.1em}\mathcal{A}$ of homeomorphisms of the circle that contains $\mathbb{Q}$, and we prove that $T\!\hspace{0.1em}\mathcal{A}$ is two-generated and has type $\mathrm{F}_\infty$. Our method for proving finiteness properties extends existing techniques to allow for groups of homeomorphisms that are locally more complicated than the standard Thompson groups.

研究の動機と目的

• 有理数の加法群 $\bbQ$ に対するヒグマン埋め込み定理の明示的実現を、$\bbQ$ を有限表示群へ埋め込むことによって行う。
• マーティン・ブリッドソンとピエール・ド・ラ・ハールが考案したコウロフカノートの問いに答え、そのような埋め込みの存在を示す。
• 有限表示単純群を構成し、$\bbQ$ を部分群として含ませることで、$\bbQ$ に対するブーン＝ヒグマンの定理を実現する。
• 標準的トマソン群とは異なるより複雑な局所構造を持つホメオモルフィズム群に対しても、有限性性質を示す手法を拡張する。

提案手法

• トマソン群 $T$ を実数直線へ持ち上げ、$\bbQ$ を部分群として含む有限表示群を得る。
• $\bbQ$ を含み、単純であることが証明された、向きを保つ円の位相的同相写像の群 $T\rs A$ を構成する。
• $T\rs A$ が二生成であり、型 $\rF_\by$ であることを、より複雑な局所ダイナミクスに適応した有限性性質の技法の拡張を用いて示す。
• 標準的トマソン群とは局所同型でないホメオモルフィズム群に対しても、$\rF_\by$-有限性を示す手法を一般化する。
• 群 $T$ の実数直線への持ち上げの構造を用い、$\bbR$ 上の作用を分析し、有理数部分群 $\bbQ$ を抽出する。
• $T\rs A$ の円上の作用とその要素のダイナミクスの分析を通じて、単純性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理数の加法群 $\bbQ$ は、明示的に有限表示群へ埋め込むことができるか。これにより、ヒグマン埋め込み定理が構成的に実現されるか。
• RQ2 有限表示単純群で、$\bbQ$ を部分群として含むものが存在するか。これにより、$\bbQ$ に対するブーン＝ヒグマンの定理が実現されるか。
• RQ3 標準的トマソン群よりも複雑な局所構造を持つホメオモルフィズム群に対し、$\rF_\by$ などの有限性性質を確立できるか。
• RQ4 トマソン群 $T$ の実数直線への持ち上げの構造は何か。また、それが自然に $\bbQ$ を含む仕組みは何か。
• RQ5 より豊かな局所ダイナミクスを持つ群に対処するため、既存の $\rF_\by$-有限性の証明手法をどのように拡張できるか。

主な発見

• トマソン群 $T$ の実数直線への持ち上げは、有限表示可能であり、加法群 $\bbQ$ を部分群として含む。
• $T\rs A$ は、円の位相的同相写像の群として明示的に構成され、$\bbQ$ を含むことが示され、単純であることが証明されている。
• $T\rs A$ は二生成であり、型 $\rF_\by$ である。これは、すべての $n$ に対して、$n$-スケルトンが有限である分類空間を備えることを意味する。
• 標準的トマソン群よりも複雑な局所的挙動を示すホメオモルフィズム群に対しても、既存の有限性性質の証明手法を拡張した。
• 本構成により、$\bbQ$ に対するヒグマン埋め込み定理が、有限表示群内での明示的実現が達成された。
• 本構成により、$\bbQ$ に対するブーン＝ヒグマンの定理が、有限表示単純群内での明示的実現が達成された。