[論文レビュー] Embeddings of moment-angle manifolds and sequences of Massey products

Victor Matveevich Buchstaber, Ivan Limonchenko|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2018

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、単純多面体における面埋め込みを通じて、モーメント・アングル多様体と複体を結ぶ可換な五角形図式を確立し、単純多面体がフラッグであるための必要十分条件として、誘導されたモーメント・アングル多様体埋め込みに再帰的写像が存在すること、ならびにその同調的なエピモルフィズムが分裂することを証明する。主な応用として、高次マッセイ積の次数が無限に増大するフラッグ多面体の無限族を構成し、$ \mathcal{Z}_{P^n}$ における非自明な $k$-重マッセイ積の存在が、すべての $l > n$ に対して $ \mathcal{Z}_{P^l}$ においても成立することを示す。この構成は、フラッグ多面体における新しい面カット作用 $\operatorname{fc}$ に依存し、組合せ的に異なる系列を生成し、強い連結性を持つマッセイ積を有する。

ABSTRACT

We show that for any face $F$ of a simple polytope $P$ the canonical equivariant homeomorphisms $h_P:\,\mathcal Z_P o\mathcal Z_{K_P}$ and $h_F:\,\mathcal Z_F o\mathcal Z_{K_F}$ are linked in a pentagonal commutative diagram with the maps of moment-angle manifolds and moment-angle-complexes, induced by a face embedding $i_{F,P}:\,F o P$ and a simplicial embedding $Φ_{F,P}:\,K_F o K_{F,P} o K_P$, where $K_{F,P}$ is the full subcomplex of $K_P$ on the same vertex set as $Φ_{F,P}(K_F)$. We introduce the explicit constructions of the maps $i_{F,P}$, $Φ_{F,P}$ and show that a polytope $P$ is flag if and only if the induced embedding $\hat{i}_{F,P}:\,\mathcal Z_{F} o\mathcal Z_P$ of moment-angle manifolds has a retraction and thus induces a split ring epimorphism in cohomology for any face $F\subset P$. As the applications of these results we obtain the sequences $\{P^n\}$ of flag simple polytopes such that there exists a nontrivial $k$-fold Massey product in $H^*(\mathcal Z_{P^n})$ with $k o\infty$ as $n o\infty$ and, moreover, the existence of a nontrivial $k$-fold Massey product in $H^*(\mathcal Z_{P^n})$ implies existence of a nontrivial $k$-fold Massey product in $H^*(\mathcal Z_{P^l})$ for any $l>n$.

研究の動機と目的

• モーメント・アングル多様体と複体を、面埋め込みおよび単体的埋め込みを通じて結ぶ標準的な可換五角形図式を確立すること。
• 誘導されたモーメント・アングル多様体埋め込みに再帰的写像が存在することによって、フラッグ多面体を特徴づけること。
• 非自明な $k$-重マッセイ積を有するフラッグ多面体の無限族を構成し、$k \to \infty$ となるように $n \to \infty$ のときの次数を無限に増大させること。
• 同調的コホモロジー $H^*(\mathcal{Z}_{P^n})$ における非自明な $k$-重マッセイ積の存在が、すべての $l > n$ に対して $H^*(\mathcal{Z}_{P^l})$ においても成立することを示すこと。
• フラッグ多面体に新しい面カット作用 $\operatorname{fc}$ を導入し、強く連結したマッセイ積を持つ、組合せ的に異なる系列を生成すること。

提案手法

• モーメント・アングル多様体とモーメント・アングル複体を結ぶ標準的 $\operatorname{G}$-同相写像 $h_P: \mathcal{Z}_P \to \mathcal{Z}_{K_P}$ および $h_F: \mathcal{Z}_F \to \mathcal{Z}_{K_F}$ を定義する。
• 面埋め込み $i_{F,P}: F \to P$ によって誘導される単体的埋め込み $\Phi_{F,P}: K_F \to K_P$ を構成し、像の頂点集合上での全部分複体 $K_{F,P} \subset K_P$ を定義する。
• 写像 $\hat{i}_{F,P}: \mathcal{Z}_F \to \mathcal{Z}_P$ と $\hat{\Phi}_{F,P}: \mathcal{Z}_{K_F} \to \mathcal{Z}_{K_{F,P}}$ が、$h_F$、$h_P$、および再帰的写像 $r: \mathcal{Z}_{K_P} \to \mathcal{Z}_{K_{F,P}}$ と組み合わせて可換五角形を形成することを証明する。
• 多面体 $P$ がフラッグであるための必要十分条件として、$\Phi_{F,P}$ が $K_F \cong K_{F,P}$ に同型を与えること、したがって $\hat{i}_{F,P}$ に再帰的写像が存在することを示す。
• 面カット作用 $\operatorname{fc}(P) = \operatorname{fc}^1(P)$ を導入し、フラッグ基底多面体 $F^r$ から再帰的に系列 $P^{n+1} = \operatorname{fc}(P^n)$ を構成する。
• 再帰的写像による同調的分裂を用いて、系列内の小さい多面体から大きい多面体へ非自明なマッセイ積を伝搬すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 誘導されたモーメント・アングル多様体埋め込み $\hat{i}_{F,P}: \mathcal{Z}_F \to \mathcal{Z}_P$ が再帰的写像をもつための条件は何か？
• RQ2 単純多面体 $P$ の組合せ的構造は、特にマッセイ積に関連して、$\mathcal{Z}_P$ の同調的構造とどのように関係するか？
• RQ3 非自明なマッセイ積の次数が $H^*(\mathcal{Z}_P)$ において無限に増大するフラッグ多面体の無限族を構成可能か？
• RQ4 強く連結したマッセイ積を持つ、組合せ的に異なるフラッグ多面体の系列を生成可能か？特に、初期の項に高次マッセイ積が存在すれば、それらが後の項においても成立することを示せるか？
• RQ5 面カット作用 $\operatorname{fc}$ は、このような系列を生成し、同調的性質を保存する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 単純多面体 $P$ がフラッグであるための必要十分条件は、誘導されたモーメント・アングル多様体埋め込み $\hat{i}_{F,P}: \mathcal{Z}_F \to \mathcal{Z}_P$ が再帰的写像を持つことであり、これにより同調的環のエピモルフィズムが分裂することを示す。
• 面カット作用 $\operatorname{fc}$ は、フラッグ多面体の系列 $\{P^n\}$ を生成し、$Q^n$ が $Q^{n+1}$ の面となるようにする。ここで $Q^n$ は [10] で導入された系列の多面体である。
• 系列 $\{Q^n\}$ に対して、すべての $n \geq 2$ において $H^*(\mathcal{Z}_{Q^n})$ に非自明な $n$-重マッセイ積が存在し、各 $\alpha_i$ は次数 3 である。
• 同調的コホモロジー $H^*(\mathcal{Z}_{P^n})$ に非自明な $k$-重マッセイ積が存在することは、すべての $l > n$ に対して $H^*(\mathcal{Z}_{P^l})$ においても非自明な $k$-重マッセイ積が存在することを示し、強い連結性を持つマッセイ積を確立する。
• 二進数列を用いて異なる成長パターンを定義することで、組合せ的に異なるフラッグ多面体の系列を無限に生成する、強い連結性を持つマッセイ積を有する系列の無限族 $\mathcal{S} = \{\mathcal{P}_\alpha \mid \alpha \in I\}$ を構成する。
• 任意の $k \geq 1$ および $r \geq 2$ に対して、$N = N(k,r)$ が存在し、すべての $n \geq N$ に対して $H^*(\mathcal{Z}_{P_k^n})$ に $2 \leq l \leq r$ の非自明な $l$-重マッセイ積が存在する、非分解的フラッグ多面体の無限族 $\{\mathcal{P}_k\}$ を構成する。