[論文レビュー] Topology of polyhedral products over simplicial multiwedges

Ivan Limonchenko|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 34被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、単体的マルチウェッジの構造とコhomologyにおける高次マッセイ積の関連を介して、グラフ・アソシアヒドラに沿った一般化されたモーメント・アングル多様体の有理的フォーマリティの組合せ的基準を確立する。その結果、モーメント・アングル多様体 $π_P^J$ がフォーマルであるための必要十分条件は、関連するグラフ $̳$ が線段、五角形、六角形の互いに交わらない和集合であることであると示され、このようなフォーマル多様体の微分同相型は、球面積や奇数次元球面の連結和として分類される。

ABSTRACT

We prove that certain conditions on multigraded Betti numbers of a simplicial complex $K$ imply existence of a higher Massey product in cohomology of a moment-angle-complex $\mathcal Z_K$, which contains a unique element (a strictly defined product). Using the simplicial multiwedge construction, we find a family $\mathcal{F}$ of polyhedral products being smooth closed manifolds such that for any $l,r\geq 2$ there exists an $l$-connected manifold $M\in\mathcal F$ with a nontrivial strictly defined $r$-fold Massey product in $H^{*}(M)$. As an application to homological algebra, we determine a wide class of triangulated spheres $K$ such that a nontrivial higher Massey product of any order may exist in Koszul homology of their Stanley--Reisner rings. As an application to rational homotopy theory, we establish a combinatorial criterion for a simple graph $Γ$ to provide a (rationally) formal generalized moment-angle manifold $\mathcal Z_{P}^{J}=(D^{2j_{i}},S^{2j_{i}-1})^{\partial P^*}$, $J=(j_{1},\ldots,j_m)$ over a graph-associahedron $P=P_Γ$ and compute all the diffeomorphism types of formal moment-angle manifolds over graph-associahedra.

研究の動機と目的

• グラフ・アソシアヒドラ $P=P_\Gamma$ に沿った一般化されたモーメント・アングル多様体 $π_P^J$ の有理的フォーマリティの組合せ的基準を特定すること。
• グラフ・アソシアヒドラに沿ったフォーマルなモーメント・アングル多様体のすべての微分同相型を分類すること。
• 多面体的積とスターリング＝ライスナー環のコhomologyにおける高次マッセイ積が存在する条件を確立すること。
• 単体的複体 $K$ の多重重み付きベッチ数と $H^*(\mathcal{Z}_K)$ における厳密に定義された高次マッセイ積の存在との関係を確立すること。
• 単体的マルチウェッジの理論を拡張し、任意の連結性と非自明な $r$-重マッセイ積を持つ滑らかで閉じた多様体の構成を可能とすること。

提案手法

• 単体的マルチウェッジ構成を用いて、滑らかで閉じた多様体である多面体的積の族を生成すること。
• 単体的マルチウェッジ作用を適用することで、単体的複体のジョイン構造を保ち、結果として得られるモーメント・アングル多様体の位相を制御すること。
• $K$ の多重重み付きベッチ数と $H^*(\mathcal{Z}_K)$ における非自明な高次マッセイ積の存在との関係を確立すること。
• 多面体的球面において $\mathcal{Z}_{P(J)}$ が $\mathcal{Z}_{I^1(J)}$、$\mathcal{Z}_{P_5(J)}$、$\mathcal{Z}_{P_6(J)}$ の積に微分同相であることを用いて、フォーマリティを分析すること。
• 多角形や多面体の積に沿ったモーメント・アングル多様体の位相に関する既知の結果を活用し、微分同相型を分類すること。
• 頂点の切り詰め ($\operatorname{vc}^k(P)$) が、グラフ論的および単体的複体の不変量を用いて、フォーマリティとマッセイ積構造に与える影響を分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフ・アソシアヒドラ $P=P_\Gamma$ に沿った一般化されたモーメント・アングル多様体 $\mathcal{Z}_P^J$ が有理的フォーマルであるのはいつか？
• RQ2 グラフ・アソシアヒドラに沿ったフォーマルなモーメント・アングル多様体の微分同相型は何か？
• RQ3 単体的複体 $K$ に対して、モーメント・アングル複体 $\mathcal{Z}_K$ が非自明な厳密に定義された高次マッセイ積をもつのはどのような条件下か？
• RQ4 単体的マルチウェッジ構成は、所望の連結性と非自明なマッセイ積を持つ滑らかで閉じた多様体をどのように生成するか？
• RQ5 $K_P$ の1次スケルトンと $H^*(\mathcal{Z}_P)$ における非自明な三重マッセイ積の存在との関係は何か？

主な発見

• グラフ・アソシアヒドラ $P=P_\Gamma$ に沿ったモーメント・アングル多様体 $\mathcal{Z}_P^J$ が有理的フォーマルであるための必要十分条件は、$\Gamma$ が線段、五角形、六角形の互いに交わらない和集合であることである。
• フォーマルなモーメント・アングル多様体 $\mathcal{Z}_P^J$ の微分同相型は、球面積または奇数次元球面の連結和であり、具体的には $\mathcal{Z}_{I^1(J)} = S^{2|J|-1}$、$\mathcal{Z}_{P_5(J)}$ は $S^3 \times S^4$ の連結和、$\mathcal{Z}_{P_6(J)}$ は $S^3 \times S^5$ と $S^4 \times S^4$ の連結和である。
• 任意の $l, r \geq 2$ に対して、単体的マルチウェッジを用いて構成された多面体的積の族 $\mathcal{F}$ に属する $l$-連結な滑らかで閉じた多様体 $M$ が存在し、$H^*(M)$ に非自明な厳密に定義された $r$-重マッセイ積が存在する。
• $H^*(\mathcal{Z}_P)$ における非自明な三重マッセイ積の存在は、$K_P$ の1次スケルトン（グラフ）にのみ依存し、頂点の切り詰め $\operatorname{vc}^k(P)$ によっても保存される。
• 単体的マルチウェッジ構成は、単体的複体のジョイン構造を保ち、単純な成分に沿ったモーメント・アングル多様体の積として $\mathcal{Z}_{K(J)}$ を構成可能である。
• 一般化されたモーメント・アングル多様体のグラフ・アソシアヒドラにおいて、フォーマリティ、非自明なマッセイ積の不在、および $P$ の組合せ的型（線段、五角形、六角形の積）の同値性が確立された。