[論文レビュー] Embeddings of proper metric spaces into Banach spaces

Baudier Florent|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2009

Advanced Banach Space Theory参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、任意の非自明な型をもたないバナッハ空間へ、すべての適切な距離空間が強い一様埋め込みをもつことを確立し、さらに、Lp空間の適切な部分集合が、ℓp^nを一様に含むバナッハ空間へ粗く双リプシッツに埋め込まれることを示している。逆の結果として、すべての適切な距離空間が制御された歪みで埋め込めるようなバナッハ空間の場合、その空間は非自明な型をもたないことが示され、埋め込み性質によってそのような空間が特徴づけられる。

ABSTRACT

We show that there exists a strong uniform embedding from any proper metric space into any Banach space without cotype. Then we prove a result concerning the Lipschitz embedding of locally finite subsets of $\mathcal{L}_{p}$-spaces. We use this locally finite result to construct a coarse bi-Lipschitz embedding for proper subsets of any $\mathcal{L}_p$-space into any Banach space $X$ containing the $\ell_p^n$'s. Finally using an argument of G. Schechtman we prove that for general proper metric spaces and for Banach spaces without cotype a converse statement holds.

研究の動機と目的

• すべての適切な距離空間への強い一様埋め込みを許容するバナッハ空間を特徴づけること。
• ℓp^nを一様に含むバナッハ空間へのLp空間の適切な部分集合の粗く双リプシッツな埋め込みを調査すること。
• 逆の命題を確立する：すべての適切な距離空間が制御された歪みで埋め込めるならば、そのターゲットバナッハ空間は非自明な型をもたないはずである。
• 局所的に有限な距離空間のリプシッツ埋め込みに関する既知の結果を、粗くおよび一様な設定へと拡張すること。
• 超積技術と双対性の議論を用いて、超積における線形埋め込みを導出し、非線形埋め込みと線形構造を結びつけること。

提案手法

• 適切な距離空間における最大ネットと距離のエントロピー推定を用いた強い一様埋め込みの構成。
• 型をもたないバナッハ空間が一様に ℓ∞^n を含むという事実を用い、有限次元近似による埋め込みの構築。
• 局所的に有限なLp空間の部分集合に対する局所的埋め込み結果を、ℓp^nを一様に含むバナッハ空間へ応用。
• 距離空間から有限ネットへの粗く双リプシッツな写像を構成し、そのネットをターゲット空間へのリプシッツ埋め込みに合成。
• 超積技術を用いて、粗く埋め込みを、超積における線形埋め込みへと持ち上げる。ヘインリヒ＝マンケヴィツ方式の微分可能性の議論を活用。
• 背理法による逆の証明：すべての適切な空間への埋め込みが存在すると仮定すると、ターゲット空間は非自明な型をもたないことが導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の適切な距離空間は、任意の型をもたないバナッハ空間へ強く一様に埋め込めるか？
• RQ2 どのような条件下で、バナッハ空間がすべてのLp空間の適切な部分集合を粗く双リプシッツに埋め込むことができるか？
• RQ3 すべての適切な距離空間が制御された歪みで埋め込めるためには、バナッハ空間が非自明な型をもたないことが必要か？
• RQ4 バナッハ空間の埋め込み性質が、すべての適切な距離空間への均一な歪みで埋め込み可能かどうかによって特徴づけられるか？
• RQ5 粗くまたは一様にバナッハ空間へ埋め込まれることで、その超積または双対空間における線形構造がどの程度保証されるか？

主な発見

• すべての適切な距離空間は、任意の型をもたないバナッハ空間へ強い一様埋め込みをもつ。
• Lp空間の適切な部分集合は、ℓp^nを一様に含む任意のバナッハ空間へ、普遍的な歪みと加法的定数（Lp構造にのみ依存）を持つ粗く双リプシッツに埋め込まれる。
• バナッハ空間 X が非自明な型をもたないための必要十分条件は、すべての適切な距離空間が X へ均一な歪みと加法的定数で粗く双リプシッツに埋め込まれることである。
• 局所的有限埋め込み結果の逆が成り立つ：すべての局所的に有限な距離空間が均一な歪みで X へ埋め込めるならば、X は一様に ℓ∞^n を含む、つまり非自明な型をもたない。
• 超積技術と双対性を用いて、本論文は ℓ∞^n が X の超積の二重双対へ線形に埋め込まれることを示し、非線形埋め込み性質と線形構造を結びつけた。
• G. シェクトマンの議論により、すべての適切な距離空間に対する普遍的な粗く双リプシッツ埋め込み定数の存在が、型をもたないバナッハ空間を特徴づける。