[論文レビュー] Embeddings of smooth function spaces, extrapolations, and related inequalities

Óscar Domínguez, Sergey Tikhonov|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2019

Nonlinear Partial Differential Equations被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、再配分と滑らかさのモジュラスを含む点付き不等式を用いて、臨界的・臨界的・超臨界的領域におけるSobolev埋込みの統一的特徴付けを提供する。滑らかな関数空間に対する外挿定理を確立し、鋭い埋込みを導出し、Gagliardo–Nirenberg、Trudinger、Jawerth–Franke埋込みといった古典的結果を一般化する。

ABSTRACT

We study the Sobolev embedding in $\cdot$ subcritical case, that is, $(W^k_p(\Omega))_0 \hookrightarrow L_{p^\ast,p}(\Omega)$ for $k < d/p,$ $\cdot$ critical case, that is, $(W^{k}_p(\Omega))_0 \hookrightarrow Y$ for $k = d/p$ and appropriate $Y,$ $\cdot$ and supercritical case, that is, $\dot{W}^{k}_p(\mathcal{X}) \hookrightarrow Y$ for $k > d/p, \mathcal{X} \in \{\mathbb{R}^d, \mathbb{T}^d\}$ and appropriate $Y.$ We obtain characterizations of these embeddings in terms of pointwise inequalities involving rearrangements and moduli of smoothness/derivatives of functions and via extrapolation theorems for corresponding smooth function spaces. Applications include, among others, Ulyanov--Kolyada type inequalities for rearrangements, inequalities for moduli of smoothness, sharp Jawerth--Franke embeddings for Lorentz--Sobolev spaces, various characterizations of Gagliardo--Nirenberg, Trudinger, Maz'ya--Hansson--Brezis--Wainger and Brezis--Wainger embeddings.

研究の動機と目的

• 臨界的・臨界的・超臨界的領域におけるSobolev埋込みの分析を統一すること。
• 再配分と滑らかさのモジュラスを含む点付き不等式を用いた埋込みの特徴付けを行うこと。
• 滑らかな関数空間に対する外挿定理を構築し、埋込み結果を導出すること。
• Gagliardo–Nirenberg、Trudinger、Maz’ya–Hansson–Brezis–Wainger、Brezis–Waingerといった既知の埋込みを一般化・統一すること。
• 再配分と滑らかさのモジュラスに関するUlyanov–Kolyada型不等式を含む鋭い不等式を確立すること。

提案手法

• 関数およびその導関数の減少再配分を含む点付き不等式を用いて埋込みを分析すること。
• 滑らかさのモジュラスを用いて、関数の正則性と埋込み特性との関係を定量化すること。
• ある関数空間の領域から他の領域へ埋込み結果を拡張する外挿定理を導出すること。
• Lorentz–Sobolev空間を用いて、既知の埋込み定理を統一・一般化する枠組みを提供すること。
• 再配分およびLorentz空間の理論を応用し、有界領域および非有界領域における埋込みを特徴づけること。
• 関数解析的手法を用いて埋込み定理と滑らかさのモジュラスに関する不等式の間の関係を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界的・臨界的・超臨界的状況におけるSobolev埋込みを、点付き不等式を用いて一様に特徴付ける方法は何か？
• RQ2 再配分と滑らかさのモジュラスは、埋込みの鋭さを決定づける役割を果たすか？
• RQ3 外挿定理を用いて、異なる正則性領域における滑らかな関数空間の埋込みをどのように導出できるか？
• RQ4 本研究の結果は、Gagliardo–NirenbergやTrudinger埋込みといった古典的埋込みをどのように一般化するか？
• RQ5 提案された枠組みから、再配分に関するUlyanov–Kolyada型不等式を導出できるか？

主な発見

• 本稿は、再配分と滑らかさのモジュラスを含む点付き不等式を用いて、臨界的Sobolev埋込みを完全に特徴づける。
• $ k = d/p $ の臨界的埋込みに対して、関数解析的手法により適切な終域空間 $ Y $ を特定する鋭い特徴付けを提供する。
• $ k > d/p $ の超臨界的埋込みに対しては、$ bR^d $ および $ bT^d $ 上のLorentz–Sobolev空間への鋭い埋込みが得られる。
• 導出された外挿定理により、異なる$ L_p $-に基づく滑らかな関数空間間での埋込み特性の移行が可能になる。
• Jawerth–Franke埋込み定理がLorentz–Sobolev空間へ一般化され、統一的かつ鋭い定式化が得られる。
• 本フレームワークにより、再配分と滑らかさのモジュラスに関するUlyanov–Kolyada型の新しい鋭い不等式が得られ、既存の結果を拡張する。