[論文レビュー] Embeddings of the braid groups of covering spaces, classification of the finite subgroups of the braid groups of the real projective plane, and linearity of braid groups of low-genus surfaces

Daciberg Lima Gonçalves, John Guaschi|SPIRE - Sciences Po Institutional REpository|Jun 15, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 29被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、コンpaktoかつ連結な曲面のブレード群がその被覆空間のブレード群に埋め込まれることを確立し、$ B_n(\mathbb{R}P^2) $ が $ B_{2n}(S^2) $ に埋め込まれることを証明する。この埋め込みと $ B_n $ の線形性を用いて、$ B_n(\mathbb{R}P^2) $ の有限部分群を分類し、トーラスや genus 1 の非可定向曲面を含む低 genus の曲面上のブレード群の線形性を証明する。

ABSTRACT

Let M be a compact, connected surface, possibly with a finite set of points removed from its interior. Let d,n be positive integers, and let N be a d-fold covering space of M. We show that the covering map induces an embedding of the n-th braid group B_n(M) of M in the (dn)-th braid group B_{dn}(N) of N, and give several applications of this result. First, we classify the finite subgroups of the n-th braid group of the real projective plane, from which we deduce an alternative proof of the classification of the finite subgroups of the mapping class group of the n-punctured real projective plane due to Bujalance, Cirre and Gamboa. Secondly, using the linearity of B_{n} due to Bigelow and Krammer, we show that the braid groups of compact, connected surfaces of low genus are linear.

研究の動機と目的

• 曲面 $ M $ の $ d $ 重被覆 $ \widetilde{M} $ に対して、ブレード群 $ B_n(M) $ が $ B_{dn}(\widetilde{M}) $ に一般に埋め込まれることを確立すること。
• $ B_n(\mathbb{R}P^2) $ のすべての有限部分群を分類し、$ B_{2n}(S^2) $ への埋め込みを活用すること。
• 球面、実射影平面、トーラスを含む、コンパクトかつ連結な低 genus の曲面におけるブレード群の線形性を証明すること。
• $ n $ 個の穴あき実射影平面の写像類群の有限部分群の分類について、代替的証明を与えること。
• Malcev の定理（有限指数の線形部分群を含む群は線形）を用いて、非自明な位相的構造を持つ曲面上のブレード群への $ B_n $ の既知の線形性の拡張を行うこと。

提案手法

• 被覆写像を介して $ B_n(M) $ から $ B_{dn}(\widetilde{M}) $ への誘導された準同型を構成し、配置空間の位相的および群論的性質を用いて単射性を証明する。
• $ B_n(\mathbb{R}P^2) $ が $ B_{2n}(S^2) $ に埋め込まれることと、$ B_n(S^2) $ の既知の線形性を活用して、ねじれや有限部分群を分析する。
• $ B_n(S^2) $ の有限部分群の分類と $ B_n(\mathbb{R}P^2) $ の構造（特にフルツイスト $ \Delta_n^2 $ と二重クリッフ群 $ \mathrm{Dic}_{8n} $ の役割）を応用する。
• Malcev の定理を適用する：群が有限指数の線形部分群を含むならば、その群は線形である。特に、曲面の純ブレード群に適用する。
• 既知の同型を活用する：$ P_n(S^2 \setminus \{x_1,x_2,x_3\}) \cong P_{n-3}(\mathbb{D}^2 \setminus \{x_1,x_2\}) \cong $ $ P_{n-1} $ の部分群であり、これは線形である。
• Fadell-Neuwirth の短完全列とその分解を用いて、特に $ n=3 $ の場合に $ \mathbb{R}P^2 $ の純ブレード群を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲面のブレード群はその被覆空間のブレード群に埋め込まれるか？ どのような条件下で？
• RQ2 $ B_n(\mathbb{R}P^2) $ のすべての有限部分群は何か？ そして $ B_n(S^2) $ の構造とどのように関係するか？
• RQ3 低 genus の曲面（例：球面、実射影平面、トーラス）におけるブレード群は線形か？ そして、既知の $ B_n $ の線形性を用いて証明可能か？
• RQ4 $ B_n(\mathbb{R}P^2) $ が $ B_{2n}(S^2) $ に埋め込まれることで、純ブレード部分群の構造にどのような影響を与えるか？
• RQ5 $ n $ 個の穴あき実射影平面の写像類群の有限部分群の分類は、ブレード群の埋め込みを用いて再構成可能か？

主な発見

• 被覆写像は $ B_n(M) $ から $ B_{dn}(\widetilde{M}) $ への単射準同型を誘導し、$ B_n(\mathbb{R}P^2) $ が $ B_{2n}(S^2) $ に埋め込まれることを証明する。
• $ B_n(\mathbb{R}P^2) $ の有限部分群は分類された：$ n \geq 2 $ のとき、位数 $ 4n $、$ 4(n-1) $ の巡回群、および二重クリッフ群 $ \mathrm{Dic}_{8n} $、$ \mathrm{Dic}_{8(n-1)} $ が含まれる。
• 純ブレード群 $ P_2(\mathbb{R}P^2) $ はクォータニオン群 $ \mathcal{Q}_8 $ に同型であり、$ B_2(\mathbb{R}P^2) $ は位数 16 の一般化クォータニオン群に同型である。
• $ n \geq 3 $ のとき、$ B_n(\mathbb{R}P^2) $ は無限大であり、$ P_3(\mathbb{R}P^2) $ はランク 2 の自由群を $ \mathcal{Q}_8 $ で半直積にした群に同型である。
• 任意のコンパクトかつ連結な曲面 $ M $ について、genus 0 もしくは 1 の場合、およびトーラスについて、$ B_n(M) $ は線形である。Malcev の定理と有限指数部分群を用いて証明される。
• $ B_n(S^2) $ の線形性は、新たな議論により再証明された：有限指数部分群 $ P_n(S^2 \setminus \{x_1,x_2,x_3\}) \cong P_{n-3}(\mathbb{D}^2 \setminus \{x_1,x_2\}) \leq P_{n-1} $ を用い、これは線形である。