[論文レビュー] Encoding the structure of many-body localization with matrix product operators

David Pekker, Bryan K. Clark|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2014

Quantum many-body systems被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、多体局在化（MBL）系の固有状態を、低結合次元の行列積演算子（MPO）を用いて効率的に符号化する手法を提案する。各サイトは、局所的基底状態と局所的励起状態を記述する2つの行列で記述され、このMPO表現はMBL固有状態の全スペクトルを捉え、大規模系の正確な対角化を可能にするとともに、面積則に従う量子もつれ、熱化の不在、局在化した保存量といったMBLの主要な性質を説明する。

ABSTRACT

Anderson insulators are non-interacting disordered systems which have localized single particle eigenstates. The interacting analogue of Anderson insulators are the Many-Body Localized (MBL) phases. The natural language for representing the spectrum of the Anderson insulator is that of product states over the single-particle modes. We show that product states over Matrix Product Operators of small bond dimension is the corresponding natural language for describing the MBL phases. In this language all of the many-body eigenstates are encode by Matrix Product States (i.e. DMRG wave function) consisting of only two sets of low bond-dimension matrices per site: the $G_i$ matrix corresponding to the local ground state on site $i$ and the $E_i$ matrix corresponding to the local excited state. All $2^n$ eigenstates can be generated from all possible combinations of these matrices.

研究の動機と目的

• 多体局在化（MBL）固有状態の全スペクトルを、アンドリュース絶縁体の積状態記述に類似した、コンactかつ効率的な表現として特定すること。
• MBL固有状態が特異的で、固有状態熱化仮説（ETH）に従わないという課題に対処するため、テンソルネットワーク構造を活用すること。
• 結合次元が小さいMPOがMBLハミルトニアンの全固有状態スペクトルを捉えられることを示し、正確な対角化の限界を超えて効率的な数値的対角化を可能にすること。
• 出現する局所的保存量（l-bits）とMBL相における熱化の不在を理解するための自然な言語を提供すること。
• 1次元を超えた一般化を提案し、高次元における射影もつれペア状態（PEPS）への自然な拡張を示すこと。

提案手法

• 各サイトに2つの低結合次元テンソルを用いた行列積状態（MPS）としてMBL固有状態を表現する。$G_i^{\rho_i}$ は局所的基底状態を、$E_i^{\rho_i}$ は局所的励起状態を記述する。
• 全固有状態スペクトルを、サイト間で$G_i$と$E_i$のすべての組み合わせをとることで構成し、MPO上の積状態に類似した構造を形成する。
• ハミルトニアンを対角化するユニタリ変換$U$のMPO表現を用いる。$U$は結合次元が系サイズに依存しないサイト局所的行列から構成される。
• MPO構造を活用し、局所的演算子（例：$U\sigma_i^+U^\dagger$）が、唯一部分的拡張的数の固有状態に非局所的に作用することを示し、熱化の不在を説明する。
• 局所的保存量（l-bits）を$U \rho_{\text{product}} U^\dagger$として構成し、$\rho_{\text{product}}$は局所的スピン演算子の積である。MPOの結合次元が有限であるため、これらは局在化したままであることを示す。
• MBLスペクトル全体がMPOを用いて効率的に符号化・対角化可能であり、主なボトルネックは結合次元が$D \propto L^\xi$を要するまれな領域であると提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多体局在化相における固有状態の全スペクトルは、コンactかつ低結合次元のテンソルネットワーク表現で記述可能だろうか？
• RQ2 対角化ユニタリ$U$のMPO構造は、MBL系における熱化の不在と局在化をどのように説明するのか？
• RQ3 MPO表現とMBL相における局所的保存量（l-bits）の出現との関係は何か？
• RQ4 MPO形式は、正確な対角化の範囲を超えて、MBLハミルトニアンの効率的な数値的対角化をどのように可能にするのか？
• RQ5 まれな領域は、MBLスペクトルの正確なMPO表現に必要な結合次元を制限する役割を果たすのか？

主な発見

• MBL固有状態の全スペクトルは、結合次元が小さく、系サイズに依存しないMPOで符号化可能であり、各サイトは局所的基底状態と局所的励起状態を記述する2つの行列のみを寄与する。
• 対角化ユニタリ$U$のMPO表現により、局所的演算子が、唯一部分的拡張的数の固有状態に作用することが保証され、熱化の不在と励起の局在化が説明される。
• MPO構造により、結合次元が小さいため、遠く離れた励起状態間の行列要素が消えることから、MBL固有状態における準位反発の不在が自然に説明される。
• 局所的保存量（l-bits）は$U \rho_{\text{product}} U^\dagger$として出現し、$\rho_{\text{product}}$は積状態である。MPOの有限な結合次元のおかげで、これらは局在化したままである。
• 結合次元$D \propto L^\xi$を要するまれな領域に遭遇する確率は$L \exp(-l/\xi)$に比例し、正確な対角化における指数的スケーリングと比較して、系サイズに依存するが多項式的緩和された制約となる。
• MPOフレームワークにより、大規模なMBL系の効率的対角化が可能となり、有限エネルギー密度および動的性質がコンパクトなMPO表現を通じてアクセス可能となり、正確な対角化の限界を著しく超える。