[論文レビュー] Endomorphismes aleatoires dans les espaces projectifs II

Henry de Thélin|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、複素射影空間 $\mathbb{P}^k(\mathbb{C})$ 上の確率的正則自己写像を研究し、ランダムなグリーンカレント $T(f_0)$ 及びその $k$ 重自己交叉 $\mu(f_0)$ の存在を確立する。この $\mu(f_0)$ はランダム不変測度を形成する。主な結果は、積空間 $\mathbb{P}^N(\mathbb{C}) \times \mathbb{P}^k(\mathbb{C})$ 上の関連測度 $\alpha$ の混合エントロピーが $k\log d$ に等しく、これが最大エントロピーであり、リャプノフ指数が $\log d / 2$ 以上で有界であることを示している。これは、エルゴディックなベース動的系を伴う、決定論的力学系の古典的結果を確率的状況へと拡張するものである。

ABSTRACT

We study random holomorphic endomorphisms of P^k(C). This article is the second part of arXiv:1205.1601

研究の動機と目的

• 決定論的正則自己写像のグリーンカレントおよび測度の理論を、それらの写像の確率的合成へと拡張すること。
• 一般の初期写像 $f_0$ に対して、ランダムグリーンカレント $T(f_0)$ 及びその関連測度 $\mu(f_0)$ の存在および不変性の性質を確立すること。
• スキュー積空間 $X = \mathbb{P}^N(\mathbb{C}) \times \mathbb{P}^k(\mathbb{C})$ 上の不変測度 $\alpha$ の混合エントロピー $h_{\alpha,\text{mix}}$ を定義・分析し、それが理論的上限 $k\log d$ に達することを示すこと。
• 体積成長とコhomオロジー的推定を用いて、$\mu(f_0)$ のリャプノフ指数が $\log d / 2$ 以上である下界を確立することで、ランダム力学系の双曲性を証明すること。

提案手法

• 空間 $X = \mathbb{P}^N(\mathbb{C}) \times \mathbb{P}^k(\mathbb{C})$ 上に、$F$ を有理写像空間上の可測写像とし、不変エルゴディック測度 $\Lambda$ を持つものとして、スキュー積変換 $\tau(f,x) = (F(f), f(x))$ を定義する。
• 条件 $\int \log \text{dist}(f, \mathcal{M}) \, d\Lambda(f) > -\infty$ の下で、$F_n = f_n \circ \cdots \circ f_0$ とおくとき、$\frac{(F_n)^*\omega}{d^{n+1}}$ の弱収束としてランダムグリーンカレント $T(f_0)$ を構成する。
• カレントの連続的ポテンシャルを活用し、自己交叉により $\mu(f_0) = T(f_0)^k$ としてランダム不変測度 $\mu(f_0)$ を定義する。
• 測度 $\Lambda$ に対して $f$ を変数として $\mu(f)$ を積分することにより、$X$ 上の積測度 $\alpha$ を構成し、$\Lambda$ が不変であれば $\alpha$ が $\tau$-不変かつエルゴディックであることを示す。
• グロモフの体積比較法を用いて、射影部分空間内の $\epsilon/2$-分離集合の濃度を推定し、グラフ $\Gamma_n$ の体積成長によってその数を上界で制御する。
• コホノロジー的推定を適用する：$\int_R (f_{n_l-1} \circ \cdots \circ f_1)^*\omega \wedge \cdots \wedge (f_{n_{d_u}-1} \circ \cdots \circ f_1)^*\omega \leq n^{d_u} d^{-d_u} d^{n d_u}$ が成り立ち、各 $f_i$ が次数 $d$ であるため、$\omega$ を $d^{n_l-1}\omega$ にコホモロジー的に引き戻せることを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベース写像 $F$ が不変測度 $\Lambda$ を持つ確率的力学系において、$\Lambda$-ほとんど everywhere での初期写像 $f_0$ に対して、ランダムグリーンカレント $T(f_0)$ は存在するか？
• RQ2 スキュー積空間上での不変測度 $\alpha$ の混合エントロピー $h_{\alpha,\text{mix}}$ の値は何か？ また、理論的上限 $k\log d$ に達するか？
• RQ3 ランダム測度 $\mu(f_0)$ のリャプノフ指数は、決定論的系と同様に $\log d / 2$ 以上で有界であるか？
• RQ4 体積成長推定と軌道空間内の分離点数に対するコホノロジー的境界を用いて、ランダム系の双曲性を証明できるか？

主な発見

• $\Lambda$-ほとんど everywhere での $f_0$ に対して、ランダムグリーンカレント $T(f_0)$ は存在し、連続的ポテンシャルを持つため、$\mu(f_0) = T(f_0)^k$ としてランダム測度を定義可能である。
• $X = \mathbb{P}^N(\mathbb{C}) \times \mathbb{P}^k(\mathbb{C})$ 上の測度 $\alpha$ は、$\alpha(B) = \int \mu(f)(B \cap \{f\} \times \mathbb{P}^k(\mathbb{C})) \, d\Lambda(f)$ で定義され、$\int \log \text{dist}(f, \mathcal{M}) \, d\Lambda(f) > -\infty$ の条件下で、スキュー積 $\tau$ に関して不変かつエルゴディックである。
• 混合エントロピー $h_{\alpha,\text{mix}}$ は $k\log d$ に等しく、これは理論的上限に達しており、$\alpha$ が最大混合エントロピー測度であることを示している。
• $\mu(f_0)$ のリャプノフ指数は、体積成長推定と $\epsilon/2$-分離点数に対するコホノロジー的境界を用いた背理法により、$\log d / 2$ 以上で有界であることが示された。
• 射影部分空間 $R$ 内の $\epsilon/2$-分離点数に対する上界 $N' \leq \frac{n^{d_u} d^{-d_u} d^{n d_u}}{C(d_u) (\epsilon/4)^{2d_u}}$ が、$\lambda_l \geq \log d / 2$ でなければ矛盾を生じるため、双曲性が証明された。
• $d_u = 0$ および $d_u > 0$ の両ケースに対して結果は成り立ち、特に $d_u > 0$ の場合はグロモフの方法とコホノロジー的次数推定を用いた洗練された体積議論が必要である。