[論文レビュー] Energy Ambiguity in Nonlinear Quantum Mechanics

Waldemar Puszkarz|ArXiv.org|Feb 3, 1998

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、非線形量子力学における根本的なエネルギーの曖昧さを特定する：ラグランジアンから導かれる保存電流のエネルギーが、非線形ハミルトニアンの期待値と異なる。著者は、この曖昧さが、位相汎関数を含む特定の種類の同次的・二重線形ラグランジアンに対してのみ消えることを示し、線形量子力学と同様にエネルギーの整合性を保つ新しい一貫性のある非線形シュレーディンガー方程式のクラスを提案する。

ABSTRACT

We observe that in nonlinear quantum mechanics, unlike in the linear theory, there exists, in general, a difference between the energy functional defined within the Lagrangian formulation as an appropriate conserved component of the canonical energy-momentum tensor and the energy functional defined as the expectation value of the corresponding nonlinear Hamiltonian operator. Some examples of such ambiguity are presented for a particularly simple model and some known modifications. However, we point out that there exist a class of nonlinear modifications of the Schrödinger equation where this difference does not occur, which makes them more consistent in a manner similar to that of the linear Schrödinger equation. It is found that necessary but not sufficient a condition for such modifications is the homogeneity of the modified Schrödinger equation or its underlying Lagrangian density which is assumed to be ``bilinear'' in the wave function in some rather general sense. Yet, it is only for a particular form of this density that the ambiguity in question does not arise. A salient feature of this form is the presence of phase functionals. The present paper thus introduces a new class of modifications characterized by this desirable and rare property.

研究の動機と目的

• 非線形量子力学におけるエネルギーの二つの定義の不整合を特定・分析すること：ラグランジアンからのネーテル保存電流とハミルトニアン期待値。
• このエネルギーの曖昧さが、シュレーディンガー方程式の大多数の非線形修正においてなぜ生じるのかを調査すること。
• この曖昧さが消える条件を特定し、線形量子力学と整合するように保つこと。
• エネルギーの曖昧さが存在しない、新しい非線形シュレーディンガー方程式のクラスを特徴づけること。これにより物理的妥当性が向上する。

提案手法

• ラグランジアン形式における正準エネルギー運動量テンソルを分析し、保存エネルギー関数を抽出する。
• 同じ系において、非線形ハミルトニアン演算子の期待値としてエネルギーを計算する。
• 単純および既知の修正を含む、さまざまな非線形モデルにおいて、二つのエネルギー定義を比較する。
• エネルギーの整合性にとって、波動関数に関してラグランジアン密度の同次性が必須条件であることを特定する。
• 特に位相汎関数を組み込んだものも含めた一般化された意味での「二重線形性」を持つラグランジアンに焦点を当てる。
• エネルギーの曖昧さを解消するラグランジアン密度の具体的な形を導出し、その独自の構造を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ非線形量子力学において、ネーテルエネルギーとハミルトニアン期待値の間に乖離が生じるのか？
• RQ2 シュレーディンガー方程式の非線形修正において、このエネルギーの曖昧さがどのような条件下で消えるのか？
• RQ3 線形量子力学と同様にエネルギーの整合性を保つ非線形理論のクラスは存在するか？
• RQ4 エネルギーの曖昧さを解消するために、ラグランジアン密度に必要な構造的性質は何か？
• RQ5 位相汎関数は、非線形量子系におけるエネルギーの曖昧さの解消にどのように寄与するのか？

主な発見

• エネルギーの曖昧さは、大多数の非線形量子モデルにおいて、ネーテルエネルギーとハミルトニアン期待値の一致しないことに起因する。
• この曖昧さは、ラグランジアン密度が一般化された意味で波動関数に関して同次的かつ二重線形である場合にのみ消える。
• 位相汎関数の組み込みを特徴とする特定のラグランジアン密度の形が、エネルギーの曖昧さを解消する。
• この特定の形は、ネーテル保存電流からのエネルギーとハミルトニアン期待値が一致することを保証し、整合性を回復する。
• その結果得られる非線形シュレーディンガー方程式のクラスは、物理的により一貫しており、線形量子力学と同様のエネルギーの整合性を示す。
• 本研究は、非線形量子理論において非常にまれで望ましい性質である：ラグランジアンにおける位相関数への依存を通じたエネルギーの整合性を同定した。