[論文レビュー] Enhanced six operations and base change theorem for higher Artin stacks

Yifeng Liu, Weizhe Zheng|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 46

ひとこと要約

この論文は、安定 ∞-圏を用いた高次アーティン・スラッシュのエタール・コhomologyにおける導来圏の強化された六操作形式主義を構築し、コhomology層ではなく導来圏における基本変換定理を確立する。先行研究の制限を克服するため、∞-圏的強化を用いることでホモトピー的整合性のある降下が可能になり、基底スキームに制限のない非準密なおよび高次スラッシュに対しても理論を拡張する。

ABSTRACT

In this article, we develop a theory of Grothendieck's six operations for derived categories in étale cohomology of Artin stacks, for both torsion and adic coefficients. We prove several desired properties of the operations, including the base change theorem in derived categories. This extends many previous theories on this subject, including the one developed by Laszlo and Olsson, in which the operations are subject to more assumptions and the base change isomorphism is only constructed on the level of sheaves. Moreover, our theory works for higher Artin stacks as well. In addition, we define perverse t-structures on higher Artin stacks for general perversity, extending Gabber's work on schemes. Our method differs from previous approaches, as we exploit the theory of stable $\infty$-categories developed by Lurie. We enhance derived categories, functors, and natural isomorphisms to the level of $\infty$-categories and introduce $\infty$-categorical (co)homological descent. To handle the issue of ``homotopy coherence'', we develop a general technique for gluing subcategories of $\infty$-categories and several other $\infty$-categorical techniques. We obtain categorical equivalences between simplicial sets associated to certain multisimplicial sets. Such equivalences can be used to construct functors in different contexts. One of our category-theoretical results generalizes Deligne's gluing theory developed in the construction of the extraordinary pushforward operation in étale cohomology of schemes.

研究の動機と目的

• 従来の理論の制限を超えて、エタール・コhomologyにおける高次アーティン・スラッシュへのグロタンディークの六操作形式主義の拡張を図ること。
• 基本変換同型をコhomology層に限らず導来圏において構成することにより、幾何学的ラングランズへの応用に不可欠な結果を得ること。
• 基底スキームに関する仮定や、可 constructible シェーブルに限定するといった、先行研究における技術的制限を、∞-圏的強化を用いることで克服すること。
• 非準密および高次デリーニ＝ムーディー・スラッシュを含む、高次アーティン・スラッシュ上の lisse-étale シェーブルへの理論の一般化。
• 安定 ∞-圏によるホモトピー的整合性の枠組みを提供し、導来設定における関手および自然同型の整合性を保証すること。

提案手法

• 著者たちは、Lurieの∞-圏理論を用いて、アーティン・スラッシュ上の lisse-étale シェーブルの導来圏を安定 ∞-圏に強化する。
• 六操作（f^*, f_*, f_!, f^!, ⊗, Hom）をこれらの ∞-圏間の関手として構成し、∞-圏的技法により整合性を保証する。
• ∞-圏的（コ）ホモロジー的降下に依拠し、スキームから代数的空間およびスラッシュへの六操作の転送を可能にする。
• 単体的圏および多重単体的集合を用いて関手を構成し、∞-圏的設定における随伴関係を検証する。
• ホモトピー的整合性と降下との適合性を証明することで、∞-圏的枠組み内で基本変換定理を確立する。
• 基底からの潜在的双対的複体の引き戻しにより、双対的複体 Ω_X を定義し、∞-圏的設定で双対性およびポincare双対性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 導来圏における基本変換同型がコhomology層に限らずに保たれるような、高次アーティン・スラッシュへの六操作形式主義の拡張は可能か？
• RQ2 基底スキームが非準コンパクトまたは非準密である場合に、特に lisse-étale シェーブルの導来圏におけるホモトピー的整合性と関手的性質をどのように保証できるか？
• RQ3 ∞-圏的技法を用いて高次アーティン・スラッシュのための双対的複体を構成可能か？ また、その双対性およびポincare双対性を満たすか？
• RQ4 構成可能シェーブルに限定せず、局所的に有限型な準同型におけるより一般的な lisse-étale シェーブルへ理論を拡張可能か？
• RQ5 古典的導来圏と比較して、∞-圏的強化は六操作の整合性および自然性をどのように向上させるか？

主な発見

• 基本変換同型はコhomology層に限らず、導来 ∞-圏において構成され、従来の研究における主要な制限を解消する。
• 六操作（f^*, f_*, f_!, f^!, ⊗, Hom）は、高次アーティン・スラッシュ上の lisse-étale シェーブルの安定 ∞-圏間の関手として完全に強化されている。
• 基底スキームに準密性や有限型の仮定を課さずに、高次アーティン・スラッシュおよび高次デリーニ＝ムーディー・スラッシュに対しても理論が成立する。
• 双対的複体 Ω_X は基底からの引き戻しにより構成され、構成可能複体の全部分圏上で双対性 D_X ∘ D_X ≅ id が成り立つ。
• ポincare双対性は ∞-圏的設定で成立する： 相対次元 d の滑らかな準同型 u: U → X に対して、u^*Ω_X ≅ Ω_U⟨−d⟩ が成り立つ。
• ∞-圏的降下により、自然変換 h f^! ≃ R f^! が確立され、強化された f^! が構成可能複体上で古典的 R f^! と一致することが示された。