[論文レビュー] Enhanced twisted arrow categories

Fernando Abellán García, Walker H. Stern|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、∞-2圏 $
\mathbb{D}$ 内の制限された写像圏関手を分類する、$
\mathcal{D} \times \mathcal{D}^{\mathrm{op}}$ 上のCartesian fibrationとしての強化されたねじれた矢印 $\infty$-圏 $\operatorname{Tw}(\mathbb{D})$ を導入する。この構成を用いて、自然変換の∞-圏を終結として記述し、その結果を用いて、∞-圏における重み付きコロジットが期待される2次元の普遍性を満たすことを証明する。

ABSTRACT

Given an $\infty$-bicategory $\mathbb{D}$ with underlying $\infty$-category $\mathcal{D}$, we construct a Cartesian fibration $\operatorname{Tw}(\mathbb{D}) o \mathcal{D} imes \mathcal{D}^{\operatorname{op}}$, which we call the enhanced twisted arrow $\infty$-category, classifying the restricted mapping category functor $\operatorname{Map}_{\mathbb{D}}:\mathcal{D}^{\operatorname{op}} imes \mathcal{D} o \mathbb{D}^{\operatorname{op}} imes \mathbb{D} o \operatorname{Cat}_{\infty}$. With the aid of this new construction, we provide a description of the $\infty$-category of natural transformations $\operatorname{Nat}(F,G)$ as an end for any functors $F$ and $G$ from an $\infty$-category to an $\infty$-bicategory. As an application of our results, we demonstrate that the definition of weighted colimits presented in arXiv:1501.02161 satisfies the expected 2-dimensional universal property.

研究の動機と目的

• ∞-2圏 $\mathbb{D}$ 内の制限された写像圏関手を分類する、$\operatorname{Tw}(\mathbb{D}) \to \mathcal{D} \times \mathcal{D}^{\mathrm{op}}$ というCartesian fibrationの構成。
• 強化されたねじった矢印構成を用いて、自然変換の∞-圏 $\operatorname{Nat}(F,G)$ を終結として記述すること。
• arXiv:1501.02161 で提示された∞-圏における重み付きコロジットの定義が、2次元の普遍性を満たすことを確立すること。
• Yonedaの補題や終結構成といった古典的な圏論的道具を、∞-2圏の文脈に一般化すること。

提案手法

• ∞-圏 $\mathcal{D}$ を $\mathbb{D}$ の基になる∞-圏として、$\mathcal{D} \times \mathcal{D}^{\mathrm{op}}$ 上のCartesian fibrationとして強化されたねじった矢印∞-圏 $\operatorname{Tw}(\mathbb{D})$ を構成する。
• コシンプルシアル対象とスケーリングされたアノイド写像を用いて、ファイブレーション構造を分析し、それらを外部Cartesianスライスと比較する。
• 強化されたねじった矢印圏と外部Cartesianスライスの間の比較写像を構成し、ホモトピー的および圏論的変形の系列を用いてその同値性を証明する。
• 強化されたねじった矢印圏を用いて、$\operatorname{Nat}(F,G)$ を終結として記述し、∞-圏における極限と余極限の普遍性を活用する。
• 関手圏 $\operatorname{Fun}(\mathcal{X})$ 内の自然同値の系列を追跡することで、等価性 $W \otimes F \simeq \operatorname{colim}_{\operatorname{Tw}(\mathcal{C})} W \times F$ を導出し、コロジットがテンソル積の普遍性を満たすことを示す。
• $\infty$-圏的文脈におけるYonedaの補題を用い、自然変換をねじった矢印圏上の極限に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの関手間の自然変換の∞-圏は、∞-2圏の文脈においてどのように終結として記述できるか？
• RQ2 重み付きコロジットの普遍性を保つために必要な、ねじった矢印圏の∞-2圏的一般化は何か？
• RQ3 arXiv:1501.02161 で提示された∞-圏における重み付きコロジットの定義は、2次元の普遍性を満たすか？
• RQ4 強化されたねじった矢印∞-圏は、外部Cartesianファイブレーションおよび∞-2圏における写像圏関手とどのように関係するか？
• RQ5 通常の圏論における終結と余終結の古典的記述は、ファイブレーション的メソッドを用いて∞-圏的文脈に拡張可能か？

主な発見

• 強化されたねじった矢印∞-圏 $\operatorname{Tw}(\mathbb{D})$ は、$\mathcal{D} \times \mathcal{D}^{\mathrm{op}}$ 上のCartesian fibrationとして構成され、制限された写像圏関手 $\operatorname{Map}_{\mathbb{D}}: \mathcal{D}^{\mathrm{op}} \times \mathcal{D} \to \mathcal{C}\!\operatorname{at}_\infty$ を分類する。
• 自然変換の∞-圏 $\operatorname{Nat}(F,G)$ が、古典的な終結の公式を∞-圏的文脈に一般化した $\int_{c \in \mathcal{C}} \operatorname{Fun}(F(c), G(c))$ と同値であることが示された。
• 重み付きコロジット $W \otimes F$ が、コロジット $\operatorname{colim}_{\operatorname{Tw}(\mathcal{C})} W \times F$ と同値であることが証明され、arXiv:1501.02161 における定義が2次元の普遍性を満たすことが確認された。
• 強化されたねじった矢印圏と外部Cartesianスライスとの間の比較写像を構成し、それが同値であることが示された。これにより、ファイブレーション構造が適切に保たれていることが裏付けられた。
• 極限と関手にかかわる自然同値の鎖を用いた証明により、$\operatorname{Nat}_{\mathcal{C}^{\mathrm{op}}}(W, \operatorname{Fun}(F(-), \mathcal{X})) \simeq \operatorname{Fun}(\operatorname{colim}_{\operatorname{Tw}(\mathcal{C})} W \times F, \mathcal{X})$ が得られ、コロジットがテンソル積として特定された。
• この構成により、∞-圏的Yonedaの補題および終結計算が、強化されたねじった矢印フレームワークを通じて∞-2圏へと拡張可能であることが検証された。