[論文レビュー] Enlargements of filtrations and applications

José Manuel Corcuera, Arturo Valdivia|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2012

Credit Risk and Financial Regulations参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、確率過程におけるフィルトレーションの初期および段階的拡大の一般枠組みを構築し、F-半マルティングルのフィルトレーションGにおける半マルティングルのままである条件を確立する。明示的なドゥーブ＝マイヤー分解を提供し、信用リスクおよびインサイダー取引に応用し、デフォルト時刻とインサイダー情報が一般の確率変数およびノイズのある観測としてモデル化可能であり、市場マイクロ構造モデルにおける均衡の存在を示す。

ABSTRACT

In this paper we review some old and new results about the enlargement of filtrations problem, as well as their applications to credit risk and insider trading problems. The enlargement of filtrations problem consists in the study of conditions under which a semimartingale remains a semimartingale when the filtration is enlarged, and, in such a case, how to find the Doob-Meyer decomposition. Filtrations may be enlarged in different ways. In this paper we consider initial and progressive filtration enlargements made by random variables and processes. Keywords: Credit Risk, Insider Trading, Enlargement of Filtrations

研究の動機と目的

• F-半マルティングルが初期または段階的フィルトレーション拡大の下でもG-半マルティングルのままである十分条件を確立すること。
• 拡大されたフィルトレーションGにおける明示的なドゥーブ＝マイヤー分解を、元のF-フィルトレーションと新たな情報Hの観点から導出すること。
• インサイダーが完全な知識ではなく、確率変数Xに関するノイズのある部分的情報を持つインサイダー取引の状況をモデル化すること。
• デフォルト時刻を確率変数としてモデル化し、資産価格と市場均衡に与える影響を分析することにより、理論を信用リスクに応用すること。
• インサイダーとマーケットメイカーの間で非対称情報のもとで相互作用する市場マイクロ構造モデルにおいて、均衡の存在を示すこと。

提案手法

• F-可測な一般確率変数Lの条件付き分布が、σ-有限測度ηtに支配されることを保証する、正則性条件Aを導入する。
• 半マルティングルのBichteler-Dellacherie-Mokobodzki特徴付けを用いて、条件Aのもとで任意のF-半マルティングルがG-半マルティングルであることを証明する。
• LのFtにおける条件付き分布とその密度を用いて、補償項を表現することで、G-ドゥーブ＝マイヤー分解を導出する。
• インサイダー情報としてノイズのある観測をモデル化するため、Lt = G(X, Yt) で定義される過程(Lt)による段階的拡大を適用する。ここでXはF_T-可測、YはF_Tと独立である。
• 均衡注文フローR_tを記述する確率微分方程式（SDE）の弱解を構成し、R_tが自らのフィルトレーションのもとでブラウン運動であることを示す。
• デフォルト時刻τがマーケットメイカーのフィルトレーションのもとで停止時刻であることを示し、注文フローのフィルトレーションとマーケットメイカーのフィルトレーションが一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のF-可測確率変数Lによる初期フィルトレーション拡大の下で、F-半マルティングルがG-半マルティングルのままである条件は何か？
• RQ2 新たな情報が確率変数Lで与えられる場合、Gにおける半マルティングルのドゥーブ＝マイヤー分解を、FtにおけるLの条件付き分布とその密度を用いて明示的に計算できるか？
• RQ3 フィルトレーション拡大の理論は、将来の確率変数に関するノイズのあるまたは摂動された情報を受信するインサイダー取引モデルに応用可能か？
• RQ4 均衡市場モデルにおいて、デフォルト時刻τがマーケットメイカーのフィルトレーションのもとで停止時刻のままであるための条件は何か？
• RQ5 インサイダー取引が存在する市場における均衡注文フロー過程R_tは、基本的プロセスZ_tと同じ分布を持ち、かつ自らのフィルトレーションのもとでブラウン運動であるか？

主な発見

• 条件Aのもとでは、任意のF-半マルティングルがG-半マルティングルのままであることが保証され、拡大されたフィルトレーションにおける半マルティングル計算の有効性が裏付けられる。
• Gにおけるドゥーブ＝マイヤー分解は、FtにおけるLの条件付き分布とηtに対するその密度を用いて明示的に導出されている。
• ノイズのある情報Lt = G(X, Yt)を持つインサイダー取引モデルでは、インサイダーのフィルトレーションはブラウン運動Bと過程Ltによって生成され、明確な情報構造が得られる。
• 均衡総注文プロセスR_tは、τと現在の注文水準に依存するドリフト項を含む特定のSDEを満たし、市場清算が保証される。
• 均衡注文フロー(R_t^*)は自らのフィルトレーションのもとでブラウン運動であり、τはマーケットメイカーのフィルトレーションのもとで停止時刻であるため、R_tとマーケットメイカーのフィルトレーションが一致することが示される。
• 基本的プロセスZ_tと均衡注文フローR_t^*は同じ分布を持ち、τ = inf{t : R_t^* = -1}であるため、デフォルト時刻は注文フローから観測可能である。