[論文レビュー] On progressive filtration expansion with a process

Younes Kchia, Philip Protter|arXiv (Cornell University)|May 9, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、弱収束のσ-場とBarlow-Protterの結果の拡張を用いて、基底フィルトレーション内の半マルティンググールが、右連続右極限の過程による段階的拡張後も半マルティンググールのままであるための十分条件を確立する。主な貢献は、半マルティンググールの安定性を保証する一般基準の確立であり、これは、時間反転された拡散過程で拡張されたブラウン運動への応用によって検証されている。

ABSTRACT

In this paper we study progressive filtration expansions with cadlag processes. Using results from the weak convergence of sigma fields theory, we first establish a semimartingale convergence theorem. Then we apply it in a filtration expansion with a process setting and provide sufficient conditions for a semimartingale of the base filtration to remain a semimartingale in the expanded filtration. Finally, an application to the expansion of a Brownian filtration with a time reversed diffusion is given through a detailed study.

研究の動機と目的

• 確率過程による動的拡張へとフィルトレーション拡張理論を、確率変数の範囲を超えて拡張すること。
• 基底フィルトレーション内の半マルティンググールが拡張フィルトレーション内でも半マルティンググールのままであるための十分条件を確立すること。
• 弱収束のσ-場と半マルティンググール収束定理を用いた一般基準の開発。
• 非マルコフ型の例として、時間反転拡散で拡張されたブラウン運動への結果の応用。
• 抽象的な仮定が、具体的なファイナンス的・確率的モデルから自然に生じることの提示。

提案手法

• Antonelli, Coquet, Kohatsu-Higa, Mackevicius, Mémin, Slominski の弱収束理論を用いる。
• 弱σ-場収束から導かれる半マルティンググール収束定理を適用する。
• BarlowとProtterによるフィルトレーション拡張における半マルティンググール保存に関する結果を拡張する。
• BallyとTalayのアイデアにインspiredされた密度推定を用いる。
• 遷移密度比を用いて、拡張フィルトレーション内での明示的な半マルティンググール分解形を導出する。
• 遷移密度の導関数に関する可積分性推定によって、条件を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基底フィルトレーション内の半マルティンググールが、右連続右極限の過程による段階的拡張後も半マルティンググールのままであるための条件は何か？
• RQ2 弱収束のσ-場を用いることで、拡大フィルトレーション内での半マルティンググール安定性をどのように分析できるか？
• RQ3 動的拡大の下で、拡張フィルトレーション内での半マルティンググール分解の明示的形は何か？
• RQ4 拡散係数の有界性と正則性仮定が、半マルティンググール保存に与える影響は何か？
• RQ5 抽象的な仮定が、自然に生じる確率的モデルは何か？

主な発見

• 定理6は、F-半マルティンググールが右連続右極限の過程による段階的拡張後もG-フィルトレーション内での半マルティンググールのままであることを保証する一般基準を提供する。
• 定理8は、遷移密度の導関数に関する可積分性条件の下で、拡張フィルトレーション内でも半マルティンググール性が保たれることを確立する。
• 定理10は、ブラウン運動が時間反転拡散で拡張されても半マルティンググールのままであることを示し、密度の導関数による明示的なドリフト補正が可能であることを示す。
• 有界なドリフトと正則性を満たす拡散係数を有する拡散過程に対して、B_t - ∫₀ᵗ (1/π) ∂π/∂x (1−2s, X_s, X_{1−s}) ds はG-ブラウン運動である。
• φ(x) = C(1 + 1/√x) の原点における可積分性が保証されれば、半マルティンググール分解における補正項の存在が保証される。
• 確率的ボラティリティモデルにおいて、X_t = A_T − A_t による段階的拡張では、補正項の全 variation が一様に有界であれば、半マルティンググール性が保たれる。