[論文レビュー] Enriched factorization systems

Rory B. B. Lucyshyn-Wright|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、対称モノイド圏 $β$ に沿って enrich された $β$-圏における enrich 因数分解系の基礎理論を確立し、hom-対象に基づく $β$- enrich された直交性条件によって、古典的因数分解系を一般化する。主な貢献は、局所的可展従属、位相的、およびモデルに類似した圏を含む広範な enrich 圏クラスにおいて、$β$-enriched $(\text{Epi},\text{Strong Mono})$ および $(\text{Strong Epi},\text{Mono})$-因数分解系の存在を示したことである。

ABSTRACT

In a paper of 1974, Brian Day employed a notion of factorization system in the context of enriched category theory, replacing the usual diagonal lifting property with a corresponding criterion phrased in terms of hom-objects. We set forth the basic theory of such enriched factorization systems. In particular, we establish stability properties for enriched prefactorization systems, we examine the relation of enriched to ordinary factorization systems, and we provide general results for obtaining enriched factorizations by means of wide (co)intersections. As a special case, we prove results on the existence of enriched factorization systems involving enriched strong monomorphisms or strong epimorphisms.

研究の動機と目的

• 対称モノイド圏 $β$ に沿って enrich された圏への一般化により、古典的因数分解系を拡張する enrich 因数分解系の基礎理論を形式化・発展させること。
• enrich 因数分解系と、それに対応する通常の因数分解系との関係を、対応する通常の圏において明確にすること。
• 広範な (co)インターセクションと hom-対象における直交性条件を用いて、enrich 因数分解系の一般的存在結果を提供すること。
• enrich 強単射および強エピ射が因数分解系の一部を形成するための条件を確立すること。
• 例えば $β$-代数や enrich スケッチのモデルなど、広範な圏クラスにおける標準的 enrich 因数分解系の存在を示すこと。

提案手法

• hom-対象における pullback 条件を用いて、$β$ における $β$-enrich 直交性を定義し、古典的対角ラッププロパティを一般化する。
• enrich 環境における特定のラップおよび閉包条件を満たす射のクラスとして、enrich prefactorization system を導入する。
• 特に $β$-単射および $β$-エピ射に注目して、射の広範な (co)インターセクションを用いて因数分解系を構成する。
• $β$-圏における極限および余極限における enrich prefactorization system の安定性結果を適用する。
• well-powered であること、cotensoring および $β$-圏における極限/余極限の性質を活用して、存在定理を導出する。
• 双対性を用いて、enrich 直交性および (co)極限における閉包性を活用し、強エピ射および単射を含む因数分解系を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 enrich 圏が、enrich 強単射または強エピ射を含む因数分解系をもつための条件は何か？
• RQ2 enrich 因数分解系は、対応する通常の圏における通常の因数分解系とどのように関係しているか？
• RQ3 enrich 因数分解系を構成するために用いられる一般的な圏論的構成（例：広範なインターセクション）は何か？
• RQ4 例えば $β$-代数や enrich スケッチのモデルなど、どの種の enrich 圏において、enrich $(\text{Epi},\text{Strong Mono})$ および $(\text{Strong Epi},\text{Mono})$-因数分解系が存在するか？
• RQ5 enrich 因数分解系の存在を保証するための構造的性質（例：well-powered であること、極限/余極限の存在）は何か？

主な発見

• cotensored であり、$β$-強単射に関して well-powered で、小 $β$-極限および $β$-cokernel-pairs をもつ $β$-圏 $β$ において、対 $(\operatorname{\textnormal{{Epi}}}_{\mathscr{V}}\mathscr{B}, \operatorname{\textnormal{{StrMono}}}_{\mathscr{V}}\mathscr{B})$ は $β$-因数分解系をなす。
• tensored であり、$β$-強エピに関して co-well-powered で、小 $β$-余極限および $β$-kernel-pairs をもつ $β$-圏 $β$ において、対 $(\operatorname{\textnormal{{StrEpi}}}_{\mathscr{V}}\mathscr{B}, \operatorname{\textnormal{{Mono}}}_{\mathscr{V}}\mathscr{B})$ は $β$-因数分解系をなす。
• 閉じた、局所的可展従属的、または well-powered な $β$-圏上の $β$-代数では、標準的完成性および well-powered な条件のもとで、enrich 因数分解系の存在が保証される。
• $β$-enrich された重み付き極限スケッチのモデルの圏では、$β$-reflectivity および環境圏の well-powered 性を用いて、両方の標準的 enrich 因数分解系の存在が確立される。
• この理論は、トポスおよび代数的圏における古典的因数分解系を統一・一般化し、enrich 強単射および強エピ射が自然に $β$-因数分解系の一部を形成することを示している。
• $(\operatorname{\textnormal{{Epi}}}_{\mathscr{V}}\mathscr{B}, \operatorname{\textnormal{{StrMono}}}_{\mathscr{V}}\mathscr{B})$ の存在結果の双対性により、双対的条件のもとで $(\operatorname{\textnormal{{StrEpi}}}_{\mathscr{V}}\mathscr{B}, \operatorname{\textnormal{{Mono}}}_{\mathscr{V}}\mathscr{B})$ の存在が得られ、理論の対称性が確認される。