[論文レビュー] Entanglement area law and Lieb-Schultz-Mattis theorem in long-range interacting systems, and symmetry-enforced long-range entanglement

R. Liu, Jinmin Yi+2 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2024

Complex Systems and Time Series AnalysisEconomics, Econometrics and Finance被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、長距離相互作用を有する量子スピン鎖に対して一般化されたLieb-Schultz-Mattis定理を確立し、速やかに減衰する相互作用（$1/r^{\frak{a}}$、$\frak{a}>2$）と異常対称性を有する系では、一意のギャップを持つ対称性のとれた基底状態を有し得ないことを証明している。さらに、このような系における任意の純粋な対称状態は、長距離もつれを持っている必要があることが示され、LSM制約は基底状態に限らず、連続的および非局所的内部対称性を含む広範な対称性クラスへと拡張されている。

ABSTRACT

We establish multiple interrelated, fundamental results in quantum many-body systems that can have long-range interactions. For a sufficiently long quantum spin chain, we first show that if the multi-spin interactions in the Hamiltonian decay fast enough as their ranges increase and the Hamiltonian is gapped, then the ground states satisfy the entanglement area law, even if there is a ground state degeneracy due to a spontaneously broken discrete symmetry. This area law also holds for certain excited states. Second, if such a long-range interacting Hamiltonian has an anomalous symmetry, then the Lieb-Schultz-Mattis theorem applies, i.e., the Hamiltonian cannot have a unique gapped symmetric ground state. If the Hamiltonian contains only 2-spin interactions, these results hold when the interactions decay faster than $1/r^2$, with $r$ the distance between the two interacting spins. Third, we show that pure states with an anomalous symmetry, which may not be a ground state of any natural Hamiltonian, must be long-range entangled. The symmetries we consider include on-site internal symmetries combined with lattice translation symmetries, and they can also extend to purely internal but non-on-site symmetries. Moreover, these internal symmetries can be discrete or continuous. We explore the applications of these results through various examples.

研究の動機と目的

• 長距離相互作用（特に$1/r^{\frak{a}}$、$\frak{a}>2$と減衰するもの）を有する量子スピン鎖へのLieb-Schultz-Mattis定理の拡張。
• 局所的内部対称性と格子並進、あるいは完全に非局所的内部対称性を有する系が、一意のギャップを持つ対称性のとれた基底状態を有し得ないことを確立。
• LSM定理を基底状態に限らず、すべての純粋な対称状態へと一般化し、それらが長距離もつれを有することを示す。
• 長距離相互作用と広範な対称性構造（連続的および離散的対称性を含む）を統合し、以前のLSM型制約を統一的かつ拡張する。
• 長距離イジング模型や双極子スピン模型のような実際のモデルに適用可能な枠組みを提供し、相分類およびトポロジカル秩序への影響を示す。

提案手法

• 無限大系における演算子代数形式を用いて局所性と対称性作用を定義し、長距離相互作用の厳密な取り扱いを可能にする。
• 群コhomology $H^3(G;U(1))$ からの異常指数を用いて、異常対称性を分類・特徴づける。特に $G = O(2) \times \bbZ$ または $\bbZ_2$ の文脈で。
• 相互作用の減衰に関する適切な条件を導出し、一意のギャップを持つ対称性のとれた基底状態が存在しないことを示す。具体的には、2体相互作用に対して $\frak{a}>2$ が必要である。
• 熱力学的極限をとることで有限系に適用し、実際の系に対して物理的に意味のある結果を得る。
• 長距離 $O(2)\times\bbZ$ 対称性を持つモデルや、$J_{ij} \to |i-j|^{-\frak{a}}$、$\frak{a}>2$ となる非局所的 $\bbZ_2$ 対称ハミルトニアンといった明示的モデルを構築し、定理の有効性を示す。
• 対称性の異常ともつれ構造を用いて、すべての対称的純粋状態が、基底状態であるかどうかにかかわらず、長距離もつれを有することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長距離相互作用が $1/r^{\frak{a}}$ と減衰する量子スピン鎖に対して、Lieb-Schultz-Mattis型定理を一般化できるか？
• RQ2 相互作用の減衰および対称性構造にどのような条件下で、一意のギャップを持つ対称性のとれた基底状態が不可能になるか？
• RQ3 LSM制約は基底状態に限らず、すべての純粋な対称状態へと拡張可能か？ そして、それらが長距離もつれを強制するか？
• RQ4 非局所的内部対称性や連続的対称性（例：$O(2)$）を有する系に対しても、定理は適用可能か？
• RQ5 結果は、相互作用指数を調整可能な長距離ダイポールやRydberg原子鎖のような実際の長距離モデルにどのように適用されるか？

主な発見

• 2体長距離相互作用が $1/r^{\frak{a}}$ と減衰する場合、$\frak{a}>2$ であればLSM定理が成立し、異常対称性を有する系では、一意のギャップを持つ対称性のとれた基底状態が存在しない。
• このような系における任意の純粋な対称状態（基底状態であるかどうかにかかわらず）は、長距離もつれを有しなければならない。これは、対称性の異常と相互作用の減衰の直接的結果である。
• 定理は、局所的内部対称性と格子並進の組み合わせ、完全に内部的で非局所的な対称性、および離散的・連続的群を含む広範な対称性クラスに適用可能である。
• $O(2)\times\bbZ$ 対称性と長距離 $1/r^{\frak{a}}$ 相互作用（$\frak{a}>2$）を有するモデルは、一意のギャップを持つ対称性のとれた基底状態を有し得ず、既知の相図が無ギャップまたは対称性が破れた相しか示さないのと整合的である。
• 長距離 $\bbZ_2$ 対称ハミルトニアンで $J_{ij} \to |i-j|^{-\frak{a}}$、$\frak{a}>2$ となる系は、ギャップなしまたは $\bbZ_2$ 対称性が自発的に破れる。これは定理と一致する。
• 並進対称性の明示的破れに対しても、結果はロバストである。ただし、相互作用の減衰および対称性の異常条件が維持されていればよい。これは、異常と減衰率が中心的役割を果たしていることを示している。