[論文レビュー] Entanglement-assisted quantum error-correcting codes from units

Ted Hurley, Donny Hurley+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有限体上のバーデンヴァイン行列およびフーリエ行列を用いて、最大距離分離（MDS）特性を持つエンタングルメント支援量子エラー訂正符号（EAQECC）を構成的かつ構成的に生成する手法を提示する。n×nのフーリエ行列からr個の連続または等差数列の行を選択し、構成法1.1を適用することで、d = n−r+1およびc = n−rを満たす形での[[n,r,d;c]]型のMDS EAQECCを実現する。n+1が素数である場合、素数位数の体上で効率的なモジュラー算術が可能となり、高レート・高距離の符号が実現可能となる。

ABSTRACT

Entanglement-assisted quantum error-correcting codes (EAQECCs) to desired rate, error-correcting capability and maximum shared entanglement are constructed. Thus for a required rate $R$, required error-correcting capability to correct $t$ errors, mds (maximum distance separable) EAQECCs of the form $[[n,r,d;c]]$ with $R=\frac{r}{n}, d\geq (2t+1), c = (n-r), d= (n-r+1)$ are constructed. Series of such codes may be constructed where the rate and the relative distance approach non-zero constants as $n$ approaches infinity. The codes may also be constructed over prime order fields in which modular arithmetic may be employed.

研究の動機と目的

• 所望のレート、エラー訂正能力、最大共有エンタングルメントを備えたエンタングルメント支援量子エラー訂正符号（EAQECC）を構築すること。
• d = n−r+1およびc = n−rを満たす[[n,r,d;c]]型のMDS EAQECCを体系的に生成する方法を開発すること。
• n+1が素数である素数位数体GF(p)で符号を構築することで、モジュラー算術による効率的な実装を可能にすること。
• このような符号が正のネットレートを達成することを示し、既存の結果を用いてカタライティック量子符号を導出可能であることを示すこと。

提案手法

• 有限体上のn×nフーリエ行列の構造を活用し、r個の連続または等差数列の行から線形符号を生成する。
• 基本的恒等式F_n F_n^* = nI_nを用いて、フーリエ行列の行空間と列空間の直交性およびランク性質を導出する。
• 構成法1.1の適用：2つの古典的符号CとDがそれぞれチェック行列HとKを持つとき、EAQECC [[n,r1+r2−n+c, min{d1,d2};c]] が形成され、c = rank(HK^T)を満たす。
• arithmetic progressionにおけるgdc(n,k)=1の条件を満たすように、フーリエ行列のr行から生成される符号を選択することで、MDS性を保証し、d = n−r+1を達成する。
• qを素数冪としてGF(q)上に符号を構築し、特にn+1が素数であるGF(p)上で符号を構築することで、モジュラー算術を可能にする。
• 内積関係e_i f_j = nδ_ijを用いてHK^Tのランクを確認し、c = n−rを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指定されたレートR、誤り訂正能力t、最大共有エンタングルメントcを持つMDS EAQECCを体系的に構築可能か？
• RQ2 素数位数体上でEAQECCを構築することで、効率的なモジュラー算術計算を可能にする方法は何か？
• RQ3 ネットレート（r−c）/nが正となるような符号パラメータの条件は何か？これによりカタライティック量子符号が可能となるか？
• RQ4 連続する行に限らず、フーリエ行列における等差数列の行を用いた一般化は、MDS性を保ったまま可能か？
• RQ5 特にレートと距離の観点から、標準量子符号と比較してエンタングルメントは性能をどの程度向上させるか？

主な発見

• GF(81)上に80次フーリエ行列を用いて[[80,70,11;10]] MDS EAQECCを構築し、レート7/8、ネットレート6/8を達成した。
• 89が素数であり、3が89を法として原始根であることを満たすため、GF(89)上で[[88,77,12;11]] MDS EAQECCをモジュラー算術を用いて構築した。
• GF(3^5)上に[[11,4,5;1]] MDS EAQECCを構築し、d=5で低エンタングルメントを実現した。ネットレートは3/11であった。
• 28+1=29が素数であり、2が29を法として原始根であるため、GF(29)上で[[28,16,13;12]] MDS EAQECCを構築し、効率的なモジュラー計算を可能にした。
• 構成法によりd = n−r+1およびc = n−rが保証され、EAQECCにおけるMDS条件を満たすことが確認された。
• 構築されたすべての符号が正のネットレートを有しており、従来の結果を用いてカタライティック量子符号を導出可能であることが示された。