[論文レビュー] Entanglement entropy and kinematic space in BCFT and RG flow

Samrat Bhowmick, Suchetan Das+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 37被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、運動量空間計量を微分方程式の源とみなすことにより、2次元境界 conformal field theory (BCFT) における量子もつれエントロピー (EE) を逆方向に計算する新規な手法を提案する。小間隔および大距離の境界条件を用いて、既知の結果と一致するEEの式を導出し、普遍性と一貫性を示した。この手法は、上半平面におけるBCFTにおけるEEの普遍的対数項を正確に回復でき、共形写像を用いて励起状態へと拡張可能である。

ABSTRACT

The relation between kinematic space metric and entanglement entropy provides us with a differential equation for entanglement entropy. For BCFT on upper half plane we solve this equation to obtain an expression for entanglement entropy consistent with known results in the literature. We also discuss how this relation can be used to recast the RG flow, under relevant deformations of a CFT, as a flow in the space of kinematic space metrics.

研究の動機と目的

• 運動量空間計量を微分方程式の源として用いることで、標準的なAdS/CFT運動量空間形式を逆転させ、もつれエントロピーを導出すること。
• 上半平面におけるBCFTにおけるもつれエントロピーの形を制約するための境界条件（小間隔および大距離極限）を確立すること。
• 導出されたEEの式が共形不変性から得られる既知の結果と一致することを示し、この手法の一貫性を検証すること。
• 有効なオペレーターによるCFTの歪みに対してこの手法を拡張し、RGフローを運動量空間計量幾何におけるフローとして再定式化すること。
• 真空の高次状態（真空の誘導状態）に対してこの形式を適用し、運動量空間における共形写像を用いて既知のEE結果を再現すること。

提案手法

• 運動量空間計量を2階偏微分方程式として定式化する：$ \partial_u \partial_v S_{EE} = \text{source} $、ここでsourceはk空間の計量から導出される。
• 物理的境界条件を2つ課す：(1) 小間隔極限（$ \Delta \to 0 $）においてCFT真空EEに補正項を加えたものと一致し、(2) $ \Delta \to 0 $ と $ T \to \infty $ の極限が等価であること。
• 変数分離法を用いて得られたPDEを解き、$ S_{EE} = S_1(\Delta) + S_2(T) $ を仮定することで、普遍的項と理論依存項を含む一般形を導出する。
• 有限ストリップBCFTに対してこの手法を適用するため、座標変換を行い、$ \alpha = \sin(\pi T / 2L) $、$ \beta = \sin(\pi \Delta / 2L) $ についてPDEを解く。
• 共形写像を用いて、$ z \to h(z) $ による変換のもとで計量を変形し、微分構造を保存することで、真空の高次状態に対するEEを一般化する。
• 逆Radon変換と境界条件の一致を用いてEEの完全な式を導出し、$ c/6 $ や $ c/3 $ のような普遍的係数を固定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 運動量空間計量を、逆にもつれエントロピーを微分方程式として導出する源として用いることは可能か？
• RQ2 上半平面におけるBCFTにおけるもつれエントロピーを一意に決定するのに、物理的に必要な十分な境界条件は何か？
• RQ3 導出されたEE式は、共形場理論から知られている普遍的対数項 $ \frac{c}{6} \ln(\frac{2L}{\pi\epsilon} \sin(\frac{\pi x_1}{L})) $ を回復するか？
• RQ4 有効な変形の下でのRGフローは、運動量空間計量の空間におけるフローとしてどのように再定式化できるか？
• RQ5 この手法は、運動量空間における共形写像を用いて、真空の高次状態に対する既知のEE結果を再現できるか？

主な発見

• 上半平面における1つの区間に対するもつれエントロピーは、$ S(x_1) = \frac{c}{6} \ln\left(\frac{2L}{\pi\epsilon} \sin\frac{\pi x_1}{L}\right) + a $ として導出され、普遍的CFT結果と一致する。
• 解には境界条件によって固定される普遍的対数項と、源関数によって決定される理論依存項が含まれる。
• 定数源を持つ計量 $ ds^2 = \frac{a}{\sin^2(\pi\Delta/L)} + \frac{b}{\sin^2(\pi T/L)} dx_1 dx_2 $ の場合、EEは $ S = c' \ln(k' \sin(\pi\Delta/L)) + b'\Delta^2 + \cdots $ の形を取り、係数は極限によって固定される。
• この手法は、共形写像を用いて、真空の高次状態に対する既知のEEを正確に再現できる：$ S^{(h)} = \frac{c}{3} \ln\left(\frac{h(x_1)-h(x_2)}{\epsilon}\right) - \frac{c}{6} \ln(h'(x_1)h'(x_2)) $。
• 有効なオペレーターによるCFTのRGフローは、運動量空間計量の空間におけるフローとして再定式化され、計量は源関数 $ g_2(\eta), g_3(\eta) $ を通じて変化する。
• 解析により、小間隔極限では源の形に依存せず、計量が局所的に定数であれば、普遍的項のロバスト性が保証されることが確認された。