[論文レビュー] Entanglement Entropy at Large Central Charge

Thomas Hartman|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 39被引用数 257

ひとこと要約

本稿は、中心電荷cが大きく、軽いオペレーターが少ない2次元CFTにおいて、Rényiエントロピーおよびエンタングルメントエントロピーの普遍的公式を導出する。主要な寄与は、Virasoro真空ブロックに起因しており、ホログラフィックにRyu-Takayanagi公式と一致する。これは、コンフォーマルブロック展開を用いた3次元重力における最小表面積の微視的導出を可能にする。

ABSTRACT

Two-dimensional conformal field theories with a large central charge and a small number of low-dimension operators are studied using the conformal block expansion. A universal formula is derived for the Renyi entropies of N disjoint intervals in the ground state, valid to all orders in a series expansion. This is possible because the full perturbative answer in this regime comes from the exchange of the stress tensor and other descendants of the vacuum state. Therefore, the Renyi entropy is related to the Virasoro vacuum block at large central charge. The entanglement entropy, computed from the Renyi entropy by an analytic continuation, decouples into a sum of single-interval entanglements. This field theory result agrees with the Ryu-Takayanagi formula for the holographic entanglement entropy of a 2d CFT, applied to any number of intervals, and thus can be interpreted as a microscopic calculation of the area of minimal surfaces in 3d gravity.

研究の動機と目的

• 中心電荷cが大きく、軽いオペレーターが少ない2次元CFTにおけるRényiエントロピーおよびエンタングルメントエントロピーの普遍的公式を導出すること。
• エンタングルメントエントロピーの主要寄与が、スケーリングストレインテンソルおよび真空の誘導状態に起因するVirasoro真空ブロックにのみ由来することを示すこと。
• 複数の非重複区間に対してRyu-Takayanagi公式を微視的CFT理論から導出すること。
• モノドロミー法を用いて、CFTにおけるコンフォーマルブロック展開と3次元重力におけるオンシェル・アインシュタイン作用素の間の接続を確立すること。
• 交差対称性と数値的検証を用いて、OPEチャネルにわたる真空ブロックの支配的性質および位相構造を分析すること。

提案手法

• Rényiエントロピーを基底状態における2N点相関関数として、レプリカ法を用いて計算する。
• 相関関数をコンフォーマルブロックに展開し、中心電荷cが大きい半古典的極限に注目する。
• 1/cの主要項において、唯一Virasoro真空ブロックが寄与し、他のすべての寄与が指数的に抑制されることを示す。
• n→1極限におけるコンフォーマルブロックを解析的に計算するため、2階微分方程式のモノドロミー問題を用いる。
• 交差対称性を適用し、特にN=n=2の場合に、さまざまなOPEチャネルにおける真空ブロックの支配的性質を分析する。
• 再帰関係と数値評価を用いて、実用的応用のための高精度なコンフォーマルブロック計算を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心電荷cが大きく、軽いオペレーターが少ない2次元CFTにおいて、N個の非重複区間のエンタングルメントエントロピーは、全オペレータースペクトルに依存せずに普遍的に計算可能か？
• RQ2 半古典的極限において、Rényiエントロピーの主要寄与が、唯一Virasoro真空ブロックに由来するか？
• RQ3 大c極限におけるコンフォーマルブロック展開が、複数の区間に対してRyu-Takayanagi公式をどのように再現するか？
• RQ4 交差対称性は、さまざまなOPEチャネルにわたる真空ブロックの支配的性質を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 区間位置のパrameter空間に、他のブロックが支配的になる非摂動的位相が存在するか？そしてそれらは除外可能か？

主な発見

• N個の非重複区間のエンタングルメントエントロピーは、次の普遍的公式で与えられる：$ S_A = \frac{c}{3} \sum_{(i,j)} \log\left( \frac{z_i - z_j}{\epsilon} \right) $、ここで和はOPEチャネルに従って定まるペアの組にわたる。
• 大cにおけるRényiエントロピーの主要寄与は、唯一Virasoro真空ブロックに由来し、他のすべての寄与は$ e^{-\mathcal{O}(c)} $のオーダーで抑制される。
• N=n=2の場合、交差対称性および数値的検証により、あるチャネルでは真空ブロックが支配的であり、交差チャネルでは高エネルギーオペレーターが支配的であることが確認され、その他の位相は存在しない。
• モノドロミー法により、n→1極限におけるコンフォーマルブロックの解析的解が得られ、オンシェル重力作用素からエンタングルメントエントロピーが導出される。
• CFTの結果は、ホログラフィックなRyu-Takayanagi公式と正確に一致し、3次元重力における最小表面積の微視的導出を実現する。
• 文献[12]における重力計算との一致から、スピン2の折りたたみオペレーターとユニット交換を伴う半古典的コンフォーマルブロックが、3次元多様体上のオンシェル・アインシュタイン作用素に等しいことが確認された。