[論文レビュー] Entanglement-Entropy for Groundstates, Low-lying and Highly Excited Eigenstates of General (Lattice) Hamiltonians

Manfred Requardt|ArXiv.org|May 15, 2006

Quantum many-body systems参考文献 45被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、一般の格子ハミルトニアンの基底状態、励起準位が低い励起状態、および高エネルギー励起固有状態におけるもつれエントロピーのスケーリングを調査する。摂動論および量子統計力学を用いて、基底状態ではもつれエントロピーが面積に比例してスケーリングすること、マクロな励起状態では体積に比例すること、励起準位が低い状態では体積の対数に面積をかけた形でスケーリングすることを示している。このスケーリングは、近接する基準ハミルトニアンの簡併度に主に依存する。

ABSTRACT

We investigate the behavior of entanglement-entropy on a broad scale, that is, a large class of systems, Hamiltonians and states describing the interaction of many degrees of freedom. It is one of our aims to show which general characteristics are responsible for the different types of quantitative behavior of entantglement-entropy. Our main lesson is that what really matters is the degree of degeneracy of the spectrum of certain nearby reference Hamiltonians. For calculational convenience we study primarily systems defined on large but finite regions of regular lattices. We show that general vector states, being not related to some short-range Hamiltonian do not lead in the generic case to an area-like behavior of entanglement-entropy. The situation changes if eigenstates of a Hamiltonian with short-range interactions are studied. We found three broad classes of eigenstates. Global groundstates typically lead to entanglement-entropies of subvolumes proportional to the area of the dividing surface. Macroscopically excited (vector)states have in the generic case an entanglement-entropy which is proportional to the enclosed subvolume and, furthermore, display a certain Gibbsian behavior. Low-lying excited states, on the other hand, lead to an entanglement-entropy which is usually proportional to the logarithm of the enclosed subvolume times the area of the dividing surface .

研究の動機と目的

• 多数体系における異なるクラスの量子状態におけるもつれエントロピーの普遍的スケーリング行動を理解すること。
• もつれエントロピーの定量的スケーリング形を決定づける根本的物理的メカニズム（特に、近接する基準ハミルトニアンの簡併度）を特定すること。
• 固定されたグローバル状態（例：基底状態）に起因するもつれエントロピーと、ホログラフィー原理における体積内の最大エントロピーとの違いを明確にすること。
• 有限次元格子系から連続極限への結果の正確な拡張を確立するフレームワークを構築すること、特に基底状態および励起状態に対して。
• ハミルトニアンおよび密度行列の収束においてもつれエントロピーが連続的である条件を調査すること。

提案手法

• 格子の部分領域における純粋状態の部分トレースを用いてもつれエントロピーを分析し、縮約密度行列のフォン・ノイマンエントロピー $ S = -\text{Tr}(W \rho \rho) $ を計算する。
• ハミルトニアンの強い解離収束 $ H_n \to H $ を適用して、スペクトル射影および固有状態の収束を保証し、有限系から無限系への結果の転送を可能にする。
• 摂動論を用いて、固有状態のもつれエントロピーを近接する基準ハミルトニアンのスペクトル簡併度に関連付ける。
• 有限エネルギー制約を課えたカノニカルギブス状態形式を用いて、トレースノルム収束下でのエントロピーの連続性を回復する。
• 二部系において $ W_1 = C C^* $ と $ W_2 = C^* C $ の固有値および簡併度が等価であることを確立し、もつれスペクトルの対称性を証明する。
• 関数解析における収束定理（例：[37] より）に依拠して、有限エネルギー条件下で $ \Psi_0^{(n)} \to \Psi_0 $、$ W_1^{(n)} \to W_1 $、および $ S(W_1^{(n)}) \to S(W_1) $ の極限を正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 格子ハミルトニアンの基底状態、励起準位が低い励起状態、および高エネルギー励起状態におけるもつれエントロピーのスケーリング行動は、何に依存するか？
• RQ2 近接する基準ハミルトニアンのスペクトルの簡併度は、与えられた状態のもつれエントロピーにどのように影響するか？
• RQ3 もつれエントロピーが面積則、体積則、対数則を示す条件は何か？
• RQ4 有限次元格子系からの結果を、量子場理論における連続極限に正確に拡張できるか？
• RQ5 ハミルトニアンの選択およびそのスペクトル的性質は、もつれエントロピーの連続性および収束性にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 短距離相互作用を持つハミルトニアンの基底状態は、部分領域間の境界の面積に比例するもつれエントロピーを示し、面積則と整合的である。
• マクロに励起された状態は一般に、部分領域の体積に比例するもつれエントロピーを示し、体積則スケーリングを示している。
• 励起準位が低い状態は通常、体積 $ V $ に対する対数に面積をかけた形でもつれエントロピーがスケーリングされ、ハイブリッドな挙動を示す。
• もつれエントロピーのスケーリングの主要因は、状態そのものの性質ではなく、近接する基準ハミルトニアンのスペクトルの簡併度である。
• 有限エネルギー制約を課した場合、ハミルトニアンの強い解離収束および密度行列の収束の下でもつれエントロピーは連続的である。
• 二部系では、縮約密度行列 $ W_1 $ と $ W_2 $ の固有値スペクトルが同一（簡併度を含む）であり、もつれスペクトルの対称性が保証される。