[論文レビュー] Entanglement in mutually unbiased bases

Marcin Wieśniak, Tomasz Paterek+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2011

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、合成量子系における完全な相互 unbiased 基底 (MUB) の集合が、特定の基底の選択に依存せず、常に固定された非ゼロのエンタングルメント量を含むことを示している。複素射影2-デザインおよび線形エントロピーの性質を用いて、すべてのMUB状態における平均エンタングルメントが定数であり、部分系の次元にのみ依存することを証明し、素数の平方次元では1つのエンタングリング操作を用いた明示的な構成が提供されている。

ABSTRACT

One of the essential features of quantum mechanics is that most pairs of observables cannot be measured simultaneously. This phenomenon is most strongly manifested when observables are related to mutually unbiased bases. In this paper, we shed some light on the connection between mutually unbiased bases and another essential feature of quantum mechanics, quantum entanglement. It is shown that a complete set of mutually unbiased bases of a bipartite system contains a fixed amount of entanglement, independently of the choice of the set. This has implications for entanglement distribution among the states of a complete set. In prime-squared dimensions we present an explicit experiment-friendly construction of a complete set with a particularly simple entanglement distribution. Finally, we describe basic properties of mutually unbiased bases composed only of product states. The constructions are illustrated with explicit examples in low dimensions. We believe that properties of entanglement in mutually unbiased bases might be one of the ingredients to be taken into account to settle the question of the existence of complete sets. We also expect that they will be relevant to applications of bases in the experimental realization of quantum protocols in higher-dimensional Hilbert spaces.

研究の動機と目的

• 合成量子系における完全な相互 unbiased 基底 (MUB) の集合におけるエンタングルメントの役割を調査すること。
• MUBにおけるエンタングルメント量が、特に素数の冪でない次元において、異なる集合間で不変であるかどうかを特定すること。
• 次元 d = p² における完全なMUB集合を、1つのエンタングリング操作を用いて実験的に実装可能な方法で構成すること。
• 純粋状態のみからなるMUBを特徴づけ、その構造的制限を理解すること。
• MUBにおけるエンタングルメントの性質が、素数の冪でない次元における完全なMUB集合の存在問題を解消する手がかりになるかどうかを調査すること。

提案手法

• 著者らは、複素射影2-デザインの数学的枠組みを用いて、完全なMUB集合における平均エンタングルメントが、ヒルベルト空間内のすべての純粋状態における平均エンタングルメントに等しいことを示した。
• 個々のMUB状態におけるエンタングルメントの測度として、縮約密度行列の線形エントロピーを用いた。
• d = p² の場合、著者らは、制御位相ゲート (P₃) を繰り返し適用することで、純粋状態基底に適用し、結果として純粋状態または最大エンタングルメント状態からなる完全なMUB集合を構成した。
• この構成は、位相ゲートを再帰的に適用して純粋状態基底をエンタングルメントMUBに変換するものであり、d=9（三準位 × 三準位）における明示的な例が示された。
• 各MUB状態における縮約密度行列の線形エントロピーを計算することで、エンタングルメント分布を分析した。
• 理論的証明は、ユニタリ変換における対称性と不変性に依拠しており、純粋状態におけるエンタングルメントの均等分布について統計力学の既知の結果を活用した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全なMUB集合におけるエンタングルメントの総量は、基底の選択に依存しないのか、それとも異なる構成によって変動するのか？
• RQ2 合成次元 d = d_A × d_B における完全なMUB集合を、1つのエンタングリング操作のみを用いて構成可能か？ その場合のエンタングルメント構造はいかなるものか？
• RQ3 純粋状態のみからなるMUBの構造的およびエンタングルメント的性質は何か？
• RQ4 MUBに固定されたエンタングルメント内容が、素数の冪でない次元における完全なMUB集合の存在または非存在を判定する基準になるか？
• RQ5 MUB状態間におけるエンタングルメント分布は、ヒルベルト空間内のランダムな純粋状態の平均エンタングルメントとどのように比較できるか？

主な発見

• MUB集合に含まれるすべての状態における平均エンタングルメントは、MUBの2-デザイン性により、ランダムな純粋状態の平均エンタングルメントに等しく、常に一定である。
• 合成次元 d = d_A × d_B において、任意の完全なMUB集合は、特定の基底の選択に依存せず、固定された非ゼロのエンタングルメント量を含む。
• 次元 d = p² において、著者らは、1つの制御位相ゲート (P₃) を純粋状態基底に適用することで、完全なMUB集合を構成した。その結果、純粋状態または最大エンタングルメント状態からなる集合が得られた。
• d=9（三準位 × 三準位）では、3つの最大エンタングルメント状態の基底と6つの純粋状態の基底が得られ、明示的な行列表現が提供された。
• エンタングルメント内容は、縮約密度行列の線形エントロピーによって定量的に決定され、d=9ではすべてのMUB状態における平均線形エントロピーは約0.555であり、ランダムな純粋状態の理論的平均と整合的である。
• 純粋状態のみからなるMUBは、非常に制限されており、完全な集合に含まれる可能性のあるこのような基底の数は限られていることが示された。